当推理不需要逻辑能力,也兼 学习离散数学或数字电路有什么用处

 

yinwuluo

1.智力测验,逻辑题,鸡兔同笼,一元二次方程

有一类智力测验题,会问到”甲说丙说的是假话,乙说甲在瞎说”什么的;还有类似这样的,”凯特是你的秘书,问是不是办公室里至少有一个人长发及腰”。得分高的,就被评为智商高,或者逻辑能力强。

这种题目所涵盖的智商 (如果能够有所涵盖的话)是非常狭窄的,不包括音乐、美术、语言等很多方面。所以,我认为这种题目啥也不代表。而且,我曾经吹过牛,说这种题目与逻辑推理能力无关。有人不信,今天我证明给你看。

我们先明确一个边界,什么能够算作智力。作为人类,区别于动物的最重要的特性是,我们会使用 (或制造,如刘典同学所强调的)工具。又,按萨特的说法,你是一个什么样的人,完全取决于你的外在,而与你内心所想无法--即,如果你终生表现得勇敢,即使每一次你都吓得心中不住地发抖,按你的表现,你仍是一个的勇敢的人。

就像函数,我们只关心它的输入与输出,或者更严格地说,我们只关心它的输入与输出间的对应关系。至于函数如何实现的,是用C语言,用电子线路,用机械,用人脑,我们并不关心。

就像中文屋子 (请GOOGLE)。

就像我拿个计算机或打开EXCEL,而你练了十年珠脑速算,我 (计算器是我的一部分) 的开方、求对数、三角函数的速度可能比你还要快。

就像你在小学是个非常聪明的学生,解鸡兔同笼问题简直不假思索,本能一样。到了初中,你还是会发现,把鸡兔同笼问题设为 二元一次方程,只有这一步需要一些思考 (需要设鸡数为x,兔数为y),然后就是机械解题了。机械解题这一步,毫无智商可言。

自从有了火器,开枪杀敌,就跟体力关系不大了。工具,是人类肢体和头脑的延伸。

幸运的是,连逻辑推理,至少智力题这种程度上的,也可以用工具解决。你,加上工具,所表现出的智商,就显得很高。

当然,有一点需要点严谨。”凯特是你的秘书,问是不是办公室里至少有一个人长发及腰”,这样的题目,你需要意识到 凯特 这一命名,并不意味着秘书的性别,也不 (而不是 更不) 意味头发的长度。甚至连这点严谨,如果你能使用接下来我要说的数学工具的话,也不太需要,因为当你把凯特抽象 (形式化) 为x的时候,你不能”显然”地找到性别的依据,只好认定条件不足。

2. 两道智力题的数理逻辑解法 示范

光说理论和类比,估计你也不信。下面演示两道题目。

2.1 谁是罪犯

这道题目就是从网上随便找来的。

A 说  不是我
B 说是 D
C 说是 B
D 说   B在诬陷他

假设他们其中有一个人说的是真话,那么谁是真的罪犯?
[http://zuoye.baidu.com/question/299842b63d6092288532e871ab55857c.html]

答案是: A是罪犯
有位答题的同学说,”一个一个假设为真,其余为假.只有D说的情况可以符合.”

这种题目,通常有个非常漫长的解题过程: 假设A如何,然后一顿推导;假设B如何,然后又一顿推导。

下面的方法,来自从数学家 布尔 开始的方法,据说罗素和他的学生维特根斯坦在《数学原理》或《数学的原理》中首先提出了数理逻辑的这种推导手段。现在,这种方法广泛地记载在《离散数学》和《数字电路》的数理逻辑一章中。这些前辈证明了,逻辑推导与数学计算是等价的。

为了清晰,我们分3步走。

第1步,我们做个表格,横行代表每个人所说的,纵列代表假设某个人说的是真话,交叉的单元格代表在 这一假设 (某人说的是真的)下横行对应的那个人说的话是真的还是假的。

1|       a=1 b=1 c=1 d=1
2| A !a   ?   ?   ?   ?
3| B d    ?   ?   ?   ?
4| C b    ?   ?   ?   ?
5| D !d   ?   ?   ?   ?

大写 代表发言的人,小写 代表假设 (或观点中) 此人是罪犯。如,a=1 代表(假设) a是罪犯,!a 代表 (A的观点),a不是罪犯。

其中
第2行,”! a”代表 “A 说 不是我”;
第3行,”d  “代表 “B 说是 D”;
第4行,”b  “代表 “C 说是 B”;
第5行,”!d “代表 “D 说   B在诬陷他”,即 对B的观点 (d)取非。

a=1,并非严格的表述,它的含义是,a是罪犯,并且其他三个人都不是罪犯,所以,严格的表述是: a=1 & b|c|d = 0。本文为节省空间,”并非罪犯”在表头中从略,但是”推导”中仍然需要这一条件。

第2步,我们填充表格中的单元格,设为1为真 (某人是罪犯,这一命题属实) ,0为假。

1|       a=1 b=1 c=1 d=1
2| A !a   0   1   1   1
3| B d    0   0   0   1
4| C b    0   1   0   0
5| D !d   1   1   1   0

这是这么填上的,我举一个例子,如第2行的 “a=1” 这一列。

当 a = 1 时, 这一行 “!a” 的值为 ! 1,即0。

再举个例子,第5行”b=1″这一行。

当 b = 1 (并且 a|c|d=0,也即a、c、d都为0) 时,这一行 “! d”值为 ! 0,即1,

这一步里,有时我用到了一些数理逻辑 (布尔代数,完全不是逻辑推导)的小技巧。比如”a|c|d=0,也即a、c、d都为0″,这是析取 (或)的特性;下面的题目里,还对蕴含作了化简,为了计算的时候更方便。值得指出的是,即使完全不使用这些技巧,也并不不会令解题难度增加多少。甚至,你只要能查到这个表达式对应的真值表,完全不会布尔代数也能解出来。因为题量小,速度也并不慢。上面这道题,填充表格,一共解了16个单一变量的表达式,都是可以秒出结果的。

第3步,查数。

我们可以注意到,第1步是把智力题 (的众人说的话这一条件) 转换为布尔代数,第2步是在布尔代数的领域中求值,第3步,把智力题的另一条件 (“假设他们其中有一个人说的是真话”)用上。此处推荐 波利亚 《怎样解题》,他老人家说,只要到了卡住的地方,把所有已知条件 (及问题)都再捋一遍。

“假设他们其中有一个人说的是真话”,就是把上面填充完的表格,纵向查一下,哪一列 只有一个1,其余的都是0。上面我提到过了,1代表属实。只有”a=1″符合这一要求。

意思就是,”a=1″就是答案,即a是罪犯。

回顾。

你可能会说,我这方法求了16个表达式,而如何使用”聪明”的逻辑推理,可能表达式 (或推理过程) 根本不需要这么多个。这就跟传说中的故事一样,据说P&G的博士生想了一堆办法,才解决了盒子里到底有没有装上肥皂,而民企的农民工架上台电风扇就解决了。博士的优势在于,他的知识结构和办法*总能*解决问题,而农民工及其办法下一次就不一定好使了。

你也可能会说,我这办法也不是智力 (或能力)啊,而是知识,只要你会,人人都能解决。这正是科学技术与巫术的区别。凡是人类,都能学会;学会以后,都能应用;应用以后,人人都变聪明了。注:这种聪明,不是时下中国人太多的那种聪明。

2.1 再来一道题,谁偷吃的

A说:是B偷吃的,
B说:是D偷吃的,
C说;我没有偷吃,
D说:B在撒谎!

其中有一人说了真话,谁偷吃了蛋糕?
[http://tgyd2006.iteye.com/blog/748679]

求得的表格是这样的:

a=1 b=1 c=1 d=1
A b   0   1   0   0
B d   0   0   0   1
C !c  1   1   0   1
D !d  1   1   1   0

注: a=1意思是 a=1 & b|c|d=0。其余三列同。

因为只有1个人说了真话,所以查数,找到只有1个1的列,即”c=1″。

结论,C偷吃了。推论,D说了真话。

作为对比,给出某位网友的推理过程:
—-引文开始

假设A说的是真话那么蛋糕就是B吃的,但是C说的是假话”我没吃”就是”我吃了”所以蛋糕是C吃的,有此看来A说的是真话不成立!
假设B说的是真话那么蛋糕是D吃的,但是D说的是假话”B在说谎”就是”B没说谎”,C同样说了假话”我没吃”就是”我吃了”所以B说的是真话也不成立!
假设C说的是真话那么B说的是假话”是D吃的”就是”不是D吃的”,D说的假话承认了是自己吃的,因为矛盾,所以C说的真话不成立!
假设D说的是真话A,B都说的假话,所以排除B,D吃蛋糕的嫌疑,因为C说的也是
假话,就是”我吃了”所以蛋糕就是被C给吃的,而真正说真话的人是D!

—-引文结束

对比自然语言的推导,你可能已经感觉到,布尔代数的方法,是不需要智力 (和逻辑推导能力) ,甚至不需要注意力,也不需要注意力持久的。

工具,正具有这样的特性,让每一个平凡人成为更强的人。

3.知识的力量

上述用布尔代数解智力题,不需要逻辑能力;不过,这种方法确实需要你 知道这种方法 的存在。

这对很多人是个障碍: 我用现在的手段,已经能 (很好地)解决这个问题了,为什么我还要学新的技术呢?我生活在田园牧歌似的岁月 (和村庄)里,不是很浪漫么。

如果在田园中,你发现了一种植物,你沾到它,甚至靠近它,在特定的月份,就会皮肤发痒。你几乎确定这种植物以前根本不存在,你几乎断定它就是你过敏的感恩,你几乎确定它就是传闻中的入侵物种–但是,你不知道它的名字。

怎么办?

根据植物的照片,GOOGLE目前还不能告诉你那是什么植物,更不能告诉你如何消除。就像有同学在网上放出照片,养的花蔫得快死了。有网友说,你都把花养成这样了,还有脸放上来呐?楼主说,就是这样了,我才想放出来请教它叫什么名字,这样,才能查一下如何照料啊。

不知道,就是无知。无知而期待解决问题,就是把前人发明过的痛苦过的,再来一次。如果想利用前人的经验,你至少需要知道,前人把它叫做什么。

你必须先具备基础知识 (领域) ,然后才能检索。你需要知道如何把叶子、花的形状用文字描述出来,还有叶子间的关系、花之间的关系。像这样:总状花序、掌状叶裂…有位同学贴过照片,问蓝色的很漂亮的花是什么。蓝色、漂亮、花,对于判断物种都没有用,我根据叶序和花序查,是百合。另一次。我们带着一盆多肉植物去同学聚会,小杨同学的爱人老赵,看了一眼就说,”景天”。景天是一个科,很多多肉都属于这一科。这就是领域知识所带来的专业技能,他甚至连查表都不需要。他接着问,”什么是多肉?”

另外的知识的力量的故事。

包师弟极其睿智,到什么程度呢。他曾经看着函数的图像,通过研究函数的周期,起伏的程度,仅根据几组给定自变量的函数的形状写出了函数的公式:

cos(α+β)-cos(α-β)

这么复杂的式子,我当时的感觉就是,你还要不要人活了。在牛人面前,大抵是这种感觉。

我能记住这个故事的一个原因是,在此时,我表现出了”知识的力量”。知识附身,智力有加成。我把包师弟的公式化简了,化简的方法,其实我们初中都学过,就是和差化积。

-2sinαsinβ

然后我就可以说,函数的公式怎么会那么复杂呢~~

知道 和差化积,拉近了我和包师弟的智商。

另一次是包师弟在解决一个问题时,使用了非常繁复的方法,实现这个方法写了一个挺长的程序,花费了不少时间。后来某一次他详细描述这个方法的时候,我突然说,”线性外插”。关同学也说,对啊,这就是线性外插。线性外插,等价于那么长的代码和解释,而且,方法更加稳妥确定,因为有数学证明。后来,我们又发现,这种问题不应该使用线性外插,而是 拟合。

知道 线性外插、拟合,拉近了我和包师弟的智商。

所有这些知识,植物分类、和差化积、线性外插、拟合,还有可以替代逻辑推理的布尔代数 (数理逻辑,用计算代替推理),作为工具武装我们,使我们成为更强的人类,因此更加自由。

所以,怎么可以说,什么什么知识,不会不知道又如何呢。不会不知道,就是无知,因此无助,因此囚禁于牢笼之中而不得自由。钥匙,前人曾经使用过有效的,就在你的面前,只要你一伸手就可以拿到,而你,打算赤手空拳伏虎屠龙吗,打算喊叫别人帮忙带你自由,打算继续忍受?

知识,就是解放我们的那把钥匙。

cat

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