用Excel手搓傅里叶级数（2）

3. 傅里叶级数

上一节，我们验证了不同周期的正弦函数之间、不同周期的余弦函数之间、正弦函数和余弦函数之间都是正交的，因此可以在傅里叶级数展开时作为基底。不同幅度的这些函数相加，就可以收敛于某个周期函数。哪个周期的正弦函数、哪个周期的余弦函数所对应的幅度，也即乘以这些函数的系数，是我们要求取的傅里叶系数。

公式大概长得像下图这样。

$C:\Users\young\AppData\Local\Temp\WeChat Files\cb13597322042933dd673dde58f466b.jpg$

其中a0是常数项，也可以视为cos(0)，（根据不同定义）可能乘以一个系数；

与余弦对应的系数是 a_i ;

与正弦对应的系数是 b_i ;

3.1 傅里叶级数，展开，验证

书中的例子，需要展开为傅里叶级数的函数周期为T=1。

（1）原理，以及准备各个函数对应的数据

根据T=1

以及角速度ω=2π/T

ω=2π/T=2π

以上备用。

我们可以跳过傅里叶系数是待展开函数在各个基底上的映射这一原理，查到公式如下。

上式中，n与i同义，指不同角速度/周期的正弦或余弦所对应的一个系数。我们能够注意到 a_n与余弦cos对应，b_n与正弦sin对应，其余形式完全相同。

上式中的方框，在cos和sin之后的那两个方框，内容是 n*ω*t。

把上面备用的

ω=2π

T=1

代入到上面两个式子中，以b_n为例得到下式。

a_n的形式非常类似，仅把sin改为cos。

得到上述公式，距离在Excel中实施只差一步。

这个定积分形式与上一篇中我们所见到的黎曼和形式求不同周期的、正弦函数、余弦函数间的相关性的公式非常相似。相似到不过是换了函数而已。验证基底相关性为0时，我们所用的两个函数分别是sin,cos之类的，现在用的是 f(x)和sin。再乘以一个系数，这里是2。

我们回到上一篇中的下面这组数据，对它做傅里叶展开。

这样，我们得到待展开的函数对应的数据。

在上一篇中，我们已经求出角度、弧度、sin(t)、cos(t)。

按同样的方法，保留角度、弧度，我们求出 sin(2π*n*x)和cos(2π*n*x)，其中n取1，2，3，4，5。

如下图所示，是当n=3时，以弧度作为x，绿框所在的这一列是sin(2π*n*x)。

这样，我们得到共10列不同周期的正弦和余弦函数对应的数据。

常数项，即 a₀，书中的作法是常数项也是个函数，其数据为值为 y=SQRT(2)/2 ，即0.707左右，的直线。与其他教材上 a₀的定义不同，结果是等价的。

这样，我们有了常数项的函数所对应的数据。

现在，我们有了

待展开的函数 所对应的数据（波）；
10列不同周期的正弦和余弦函数 所对应的数据；
常数项的函数 所对应的数据。

以上，在Excel中共12列。

（2）傅里叶系数

我在Excel中隐藏无关的行和列，仅展示 b₃这一系数的求取过程。

第一步，求得每一行，即黎曼和中的每个横坐标变化所对应的y。如下图所示。

其中G6是此前做好备用的 sin(2π*3*x)的第6个数据，
N6是待展开函数的第6个数据，

这一行的结果暂存在b3列的S6单元格。

乘以1/1000，是因为我把整个一周期内的波形等分为1000份，因此每一行对黎曼和的贡献是1/1000。

如果忘了黎曼和，可以回顾下图，在上一篇中出现过。当时用于求内积，这里用于求傅里叶系数。

把b3所有行累加，再根据下图中的公式乘以2。

得到b3这个系数的值，如下。

值为0.424400615。

用同样的方法求出11个系数。

（3）验证

我们只使用当n=1时sin(2π*x)和cos(2π*x)这两个三角函数，因此傅里叶只涉到 a1,b1，以及常数项。这样得到的结果，在下图中表示为 “傅里叶 I”这一列。

“傅里叶 I”这一列的第一行，那个公式的含义从左向右为

蓝色 b1参数* 红色C3 正弦函数 +
紫色a1参数*D3余弦函数+
粉色a0*M3常数项函数。

验证一下对不对。如下图所示，蓝色是待展开的函数，橙色是“傅里叶 I”展开。

看起来好像对，又好像不太对。两个函数看起来有点像，但是区别又很大。

我们把更精细的傅里叶级数也加进来，得到下图。

其中绿色的，是n=1至n=5 傅里叶 V 级数展开的结果，有点像了。而且与刚刚的傅里叶 I级相比，肉眼可见像得多了。

但是我们可能会注意到一个问题，从I级到V级，一共应该有5条曲线，为什么这里只画了3条呢。有帖子提到方波（可以扩大范围至奇函数）的所有sin参数（和cos中的偶数周期倍数）非常小，小到接近0。所以，在这个例子中，每两级傅里叶级数波形极其相似，I被II覆盖，III被IV覆盖了。

不仅理论如此，在实践的数据中我们也可以看到，除了b1,b3,b5这三组，其余的都贡献微小。

肉眼看到的结果不足够有说服力，我们可以再求均方差。方差越大，展开得到的波形与原函数就越不相似。

先求出每一行的差。我隐藏无关的行，在Excel中看起来如下图所示。

然后得到差的平方。

最后对差的平方求均值，得到均方差。

对I,III,V三个级别的傅里叶展开求均方差。如下图所示，我们能够看到均方差越来越小。这表明，傅里叶级数越高，得么的曲线与原函数越接近。与我们肉眼的感觉是相同的。

（4）换周期，换采样间隔，换原函数

调程序的一大乐事，是在程序写完以后，修改代码，测试不同效果，或者反复程序，居然还不崩溃。在Excel里手搓傅里叶级数也一样，折腾各种变化很有意思。

书里的周期是1，我们换一个。

根据周期T=1求得ω，并把T和ω代入公式，得到下式。

制备出各个周期的正弦函数和余弦函数，备用。

制备出各个傅里叶系数，备用。

每一行。

上图中，每行的贡献为 1/1000*T = 1/1000*2π.

求黎曼和。

验证一下。

周期不同，看不出来什么区别，不够炫酷。

换采样间隔吧。1000份真是很多，翻页需要好久，如果在Excel中不隐藏数据行的话。改为20等份。

以下，周期使用 2 pi，未展开说明。

穷举弧度时，要说明等分为20而不是1000。

求傅里叶系数时，每行贡献1/20而不是1/1000。

其余不变。绘图验证，只有20个点，瘦骨嶙峋，果然看起来漂亮很多。

换个原函数。修改“波”这一列数据，改变原函数。瞬间Excel就给出新的傅里叶展开。

再换个原函数。

再换。

这个过程非常过瘾。改一下波形数据，对应的傅里叶级数就同时跟着变化。夫子步亦步，夫子趋变趋。

4. 待续

还可以有些展开，也非常有趣。不过，那些已经不应该在用excel手搓傅里叶级数这个故事中了。我们在以后的故事里再继续。

（1）傅里叶变换，模和幅角

又

谐波的强度为 sqrtp(a^2+b^2)
幅角为 cos (arctan (-b/a))

因此，可以把每对 cos 和 sin 转换为只用cos。

这样就把原函数变换到了频域上，完成了傅里叶变换。

仍然可以用Excel求出（不是无穷级数的）结果，与其他工具计算的结果对比。

（2）用Geogebra绘制动图，圆周与傅里叶级数展开，本轮和均轮

我们可以使用Geogebra绘制出红色大圆之上的绿色中圆之上的蓝色小圆上某个点的轨迹。红、绿、蓝三个圆的周期和半径不同，对应了不同的傅里叶级数。

改变横坐标，可以看到红、绿、蓝三个圆转动导致纵坐标描绘出方波。在红圆的圆心，我们可以看到蓝紫色的“行星”轨迹，像火星一样忽快忽慢，有时倒退。

怎么把这个效果做出来呢？

（3）快速傅里叶变换FFT

因为FFT求系数数的时间复杂度更低一些，所以有可能在Excel中手搓出相当多的级数而工作量可以容忍。

不过，如上所说，用Excel手搓傅里叶级数这一场的大幕落下，那些都应该在另一些故事中再继续。

用Excel手搓傅里叶级数（1）

1. 方程 vs. 数据，解析式 vs. 数值计算

遇到过不止一位同学讨论的时候提到：如果要对这些数据处理—比如求导—是不是需要先求出这些数据的公式来，用拟合？

不。

函数，是从一组量到另一组量的映射。这并不意味着映射需要由公式来表达。典型的，在数字电路中，我们只需要直值表就可以完成映射，逻辑表达式并非必须。同样，只要有了数据，有了横坐标和纵坐标的对应，并不一定需要方程就能表达一种量和另一种量的映射或约束关系。如果不求解析解的话，数值计算并不需要解析式。

比如下面这组数据。

我们并不需要总结它是锯齿波的变形，就可以做针对它的数值计算。事实上，它也并不是锯齿波的变形，而是我随手瞎写的。随便再改一下，就可以换成另一个波形，两种波形之间没什么共性。

一直琢磨如何向同学们解释这个问题能更直观一些，看到书里的实例感觉很适合。还是这本书《程序员数学》 https://book.douban.com/subject/35689348/，用 python 讲解的。

书里的例子是用 python 做已知波形/数据的傅里叶级数。我用Excel重现一遍，再略加扩展。

数据就是数据，不需要转为公式，就可以做各种计算。计算的本质，是对数据的加工，公式作为模型只要在头脑里或者纸上就可以了，代码里不见得能看得见。

以上两组数据中的任意一组，就是Excel中的一列，我们称为波。

2. 验证函数正交

在做这个波形的傅里叶级数以前，我们首先验证一个结论：傅里叶级数中的各个三角函数是正交基。即使不验证个结论，靠公式推导，或者我们就简单相信（数学课上我常有的状态，我信了还不行么）了，后面的工作也并不影响。不过这个工作也可以由Excel完成，不必更吓人的工具，非常简单，所以不妨拿来熟悉一下Excel做傅里叶级数的路数。

傅里叶级数中的各个三角函数是正交基，这个论断中有两点需要展开。

(1) 各个三角函数是哪些三角函数。包括正弦和余弦。更具体地说，包括某个频率（一般写作ω，即omiga，角速度）的正弦和余弦，以及这个频率倍数的正弦和余弦。

比如sin(1 t),cos(1 t),sin(2t),cos(2t), sin(3t),cos(3t)……

或者sin(2πωt),cos(2πωt), sin(4πωt),cos(4πωt), sin(6πωt),cos(6πωt) ……

这些三角函数的参数怎么确定，我们后面再细说。

(2)什么是正交。正交是指两个基相乘的结果是0，具体什么意思我们不展开。

例如sin(t)和cos(t)相乘的结果如果是0，那么我们说sin(t)和cos(t)是正交的。

有的同学会说，sin(t)和cos(t)相乘，这不还是公式么，并不是仅使用数值判定啊？

任何两个函数，如果它们相乘的结果是0，我们说这两个函数是正交的。两个函数，如果没有公式，如何相乘呢。

（粗糙的）原理是通过两个函数的内积，像下图这样。

这还是公式，因为里面有 f(x)g(x)这样的表达式。在离散的情况下，它可以等价于下面的（黎曼和）形式。

其中 f(x_i) 不是函数表达式，而是执行以下步骤：
对于f这个函数，在一个周期范围内；
查找第i个x；
查表第i个x所对应的y；

这个y就是 f(xi)。

在上一节的表格中，我们增补x的序号，作为最左边的一列。在下图中，列x中的10是i的取值（x的值不重要，或者等于i），波这列的11是f(x_i)即f(x₁₁)的值。

类似地，g(x_i)也是作数据表示函数。

这里的a和b是我们用于计算的数据的下标的上界和下界，假设为一个周期。N，是把a到b等分为N份。

所以这个等式的意思是

函数f的每一行 * 函数g的每一行 * 1/N；

把上面这句的所有结果相加。

我们 sin(t)*cos(t) 为例，操作步骤如下。

（1）角度

建立一列，标题为角度。A2即第一个单元格，手写1。A3用公式 =A2+1。复制这个公式，至第361行，这样得到角度1~360。

隐藏其中大多数行，为了以后操作方便，不然每次增加或修改数据需要连续翻页几次。

得到以下效果。增加列或修改数据的时候，跨越“隐藏”的7~360行粘贴公式，数据更新也会作用于隐藏的部分。

（2）弧度

新建一列，名为弧度。B2值为 =A2/360*2*PI()。复制这个单元格到整列，如下图所示。我们可以看到，最大弧度6.28，大约 2π.

（3）sin(t)

新建一列，名为sin。C2值为=SIN(B2)，复制至整列。

取消隐藏的话，可以画出C列数据，或者画A-C的XY散点图。旁证我们的数据是正确的。

不取消隐藏的话，按下图操作，就可以在隐藏部分数据的情况下绘出完整的图表了。

（4）cos(t)

用类似sin的方法得到cos列。

（5）内积 <sin(t), cos(t)>

函数正交与否的判定，等价于内积。内积为0的两个函数，相互垂直。

求内积，应用黎曼和公式。

求和即内积即正交与否，结果为3.81699E-17，即0.00000000000000003817，
非常接近于0。旁证了 sin(t) 和 cos(t)正交。

我们虽然用到了黎曼和公式，但是在数值计算的过程中并没有用解析表示的函数，而是把数据本身作为自变量和函数值，把映射视为函数。

（6）sin(t)和sin(2t),sin(t)和cos(2t)，cos(t)和cos(2t)……的内积

所有不同的函数，无论正弦与余弦之不同，还是角频率不同，我们都视为不同的函数。这些不同的函数两两相乘，结果都应为0。

以上组合相当之多，我们挑几个验证。

我们先创建 sin(2t)和cos(2t)，像下面这样。只有每列一个单元格是手写的，其余全来自复制。事实上，连B2我也不是手写的，而是在写Excel公式的时候用鼠标点击的。

按sin(t)*cos(t)的方法，得到黎曼和——sin(t)*sin(2t)，如下图所示。

结果为-4.22588E-16，非常接近0。

是不是全接近0啊，并不。

（7）sin(t)和sin(t)的内积，以及内积为1

我们选相同的函数，做内积。

结果不是0，是……像是π.

这个结果对不对呢，我们可以用其他数学工具交叉验证一下。

Wolfram|Alpha 说：

上图中的积分范围是 -π,+ π,Excel中的积分范围是0,2π即0，360度。都是sin(x) 的一个周期，所以是等价的。

既然Wolfram|Apha有图，我们也可以在Excel中画一个，再交叉检验。如下图所示，是相同的。

用 Geogebra交叉检验一下，如下图所示，结果也是相同的。

如果你也读《程序员数学》，会发现书中的同一函数s(x) 和s(x)内积的积分结果是1，解释理由是基底的长度为1。这个结果与我们的不同。为什么呢？

因为s(x)并非sin(x)，而是sin(2πx)，周期2π，ω为1。我们在 geogebra中从-1到1积分，所得结果与《程序员数学》书中函数sin(2πx)的内积相同。

在Excel中积分-1,1的一半附近，即 0,1 ，如下图所示。

所得结果为0.5。

0,1为-1,1的一半，因此可以推断得到 -1,1积分的结果应为 1。与《程序员数学》书中一致。

（8）小结

以上，我们使用到了函数正交、内积（事实上还有相关性）、定积分、黎曼和这些概念，我们使用了一些公式。

但是！在求内积（其他都是原理，对计算过程没有影响）的过程中，我们并不需要任何公式。包括sin和cos这些三角函数，在计算它们的内积时，我们只需要数据。虽然三角函数的数据由函数公式生成，但是在内积计算时，我们无视函数公式是什么，而只需要数据就可以了。即使那些求内积的函数不是三角函数，甚至没有解析式，对计算过程也没有影响——回归到函数的定义，数（的集合）到数（的集合）的映射。

用内积佐证傅里叶的基底，那些三角函数，它们之间是正交的。它们正交这一点，并不是对某个函数/信号傅里叶分析的必要步骤，因为早就已经由前人证明过了。用解析法证明，一般会被视为更优雅吧。讨论内积的原因是，这种做法正是后面用Excel手搓傅里叶级数的手法。所以，此处也算作预备。

2.5 李萨如图形

所谓既然气氛渲染到这种程度，数据都有了，不画个莉萨如/李萨如图形，说不过去啊。

李萨如图形，是测量两个信号周期比例的方法。不同周期、不同相位的周期函数，一个画横坐标，一个画纵坐标，可以得到非常漂亮且容易识别的图形。在双踪示波器上接两路信号，可以通过画李萨如图形求这两路信号的周期比例。如果其中一路信号是我们生成的，因此周期已知（多么熟悉的路线），另一路信号的周期可以通过李萨如图形求出。

如下图所示，用刚刚Excel中的数据画出的李萨如图形。用XY散点图。

以下是随手做的其他几个例子，好看吧。

（待续）

好工具 | Export Tabs URLs 和 Open Multiple URLs 换机器打开多个页面

据说在苹果系列的手机、平板、计算机之间，你可以正使用其中任何一台设备，此时切换到另一台设备，可以方便地自动打开刚才正看的网页。Firefox账号据说也有类似功能，可以在方便PC机和手机之间切换。

跨设备种类的切换，我极少有这一类需求，但是在PC之间切换常有。在一台计算机上看页面，因为链路速度不行，可能要切到远程的服务器。这种时候，通常我已经打开了一堆页面，希望在远程的服务器上把这些页面全都打开。

在一台机器上保存多个URL地址，在另一台机器上打开。手动操作的话，可以用记事本作为中介。

一个个页面的TAB遍历：
  每一个都 alt-d 到地址栏；
  ctrl-c复制；
  ctrl-v粘到记事本；
  下一个TAB。
把记事本中的文本传到另一台计算机
想办法用微信或邮件或远程桌面复制粘贴之类
换机器
对记事本中的每一行URL：
  复制；
  在浏览器中 ctrl-t 开新tab；
  键盘焦点此时正在地址栏，操作 粘贴，回车；
  记事本中的下一行URL。

不仅繁琐，我经常担心漏一两个。而且漏掉的都是重要的，就像迷途的羔羊都格外金贵。

我用两个firefox 插件合完成上述操作，
Export Tabs URLs 和
Open Multiple URLs。

其中一个插件叫做 Export Tabs URLs，地址在 https://github.com/alct/export-tabs-urls。这个工具用于导出url。

比如我正在看以下三个页面。

此时我准备换机器了，先导出URL。

得到所有正打开Tab的URL，我一般点击 Copy to clipboard。

然后我换机器/远程桌面。

在新机器上运行另一个插件，Open Multiple URLs。下载地址在https://github.com/htrinter/Open-Multiple-URLs 。

粘贴剪贴板里的文本，点击 Open URLs按钮。

在这个案例中，浏览器会尝试打开6个URL，如果不删除每个URL上一行文字的话。我可以容忍，至少不会丢什么。如果洁癖发作追求完美，那就删除URL以外的文字吧。

如果感觉容忍和手动删除都不够优雅的话，在Export Tabs URLs导出时，勾选掉 “include titles”复制框；或者在Open Multiple URLs按Extract URLs from text按钮。

改变向量的基底——读书笔记用geogebra重现

这是系列帖子的下半部分，此前还有一篇。这两篇共同的主题是改变向量的基——使用 geogebra 演示。

帖子的缘起是我最近读了一本书，书名《程序员数学》，作者 Paul Orland，https://book.douban.com/subject/35689348/，下面图示中的这本。微信读书APP可以免费阅读，排版尚可。

书里涉及到线性代数、高等数学、数值计算、神经网络等的初步，都用python代码实例介绍的，直观，能帮助理解理论知识，适合作为计算机导论的补充素材。自己参考做实验也挺好玩的，比如线性代数中关于直线相关和向量换基底的这部分，我用 geogebra 重新实现了一遍。

3. 改变向量的基底

已知两个条件。其中一个条件是，有个向量，比如从原点到坐标（4，2）的点；另一个条件是，如果换一个基底，这个向量在新的坐标系下会是从原点到哪个点呢？或者说，这个点（4，2）在新的坐标系下的坐标是什么。

书中给的例子是下面这个。

条件一，如果向量在当前坐标系下为 (4,2)。

条件二，新的坐标系是这样的，由两个向量张起，其中第一个向量u1在旧坐标系下为从原点到(1,1)的向量，另一个向量u2为从原点到(-1,-1)的向量。

在u1,u2构成的这个新坐标系下，旧坐标系下的(4,2)的坐标是什么。

3.1 书里的写法，矩阵与基底的关系

书里的写法是这样的，左边的矩阵第1列是u1,第2列是u2。其中的u1和u2分别是新坐系的两个基底。等式的左边是这个矩阵乘以{{c},{d}}这个向量（或者矩阵）。等式的右边是旧坐标系下的向量{{4},{2}}。

可以通过解方程得到c和d的值。在CAS view中操作。

解方程，指定c和d是变量。

得到c=3,d=01。

所以，旧坐标系中的（4，2）在新坐标系中的坐标为(3,-1)。

在图上验证一下。我们指定第一个向量u1的3倍，以及第二个向量u2的-1倍。

看看新坐标(3,-1)与新坐标的两个基底间的关系。

看起来对的，v在新的红色坐标系下，坐标分别对应u11和u22在u1和u2上的投影。

根据《程序员数学》中的例子，总结求新坐标系下的坐标值的方法，就是解下面的方程，求出c和d的值。

不过这个有问题，看起来改变基底就像线性变换。与上一篇中的直线相交、解方程的方法确实非常相似，事实上我刚刚就用了 geogebra 中的 solve 这条指令。不过结果等价，并不意味着原理相同。有不少帖子都指出，改变基底是换个观察角度，而线性变换是在当前空间中操作东西。在《程序员数学》中，对这一区别似乎不太关心。

如果用geogebra画图就会发现，似乎看不出来解这个方程与基底变换之间有什么几何意义上的联系。

如果并非解方程、直线相关的话，那么原理是什么呢？

3.2 支线线性无关-垂直-正交标准基

在讨论原理之前，先简短地补充一条小的支线。书中给出的例子中，u1和u2两个新基底是相互垂直的，点积为0。

在几何意义上也可以看出二者垂直，根据坐标可以确认。

不仅垂直，这两个基底的长度也相同。根据勾股定理我们能求出，长度/模在旧坐标系中，都是，我们可以把这个长度定义为1。

这可能会误导我们以为所有的基底都必须相互垂直、长度为1。这是对标准正交基的要求，高于对基底的要求。基底可以不相互垂直，长度也不必为1。只要不能由基中一个基底线性推导出另一个基底，就行了。

也许我读书不细，作者可能提到了，我跳读没注意。聊此备忘，免生误解。

3.3 矩阵的逆，与改变向量的基底的关系

回到正题，书里这个求解新坐标系下的坐标的方法是什么意思呢，什么原理？

之所以看起来有点奇怪，是因为这个写法不完整。有点像数学书里经常遇到的“显然”，跳了几步一定正确的过程，读者容易跟不上思路。

是个向量，它不够完整。我们补充一点东西。

对角线上全是1的对角阵，这个单位阵，是旧坐标系的基底。因为过于熟悉，我们几乎注意不到它的存在。我们看一下它的含义。

所以，完整的写法是。

这种写法我们见过，就在下面这个等式的左边。

所以，等式的完整写法是下面这样。

$C:\Users\young\AppData\Local\Temp\WeChat Files\92467ebb0a4aa3a795fc63bad2dda73.jpg$

等式左右两侧都是——基底构成的矩阵左乘向量，左乘的结果是向量。

求解c和d，即在新坐标系下的向量的过程，相当于等式左右两边分别左乘新基底构成的矩阵的逆。得到下面的图示。

等式左侧 {{1,-1},{1,1}}^-1 * {{1,-1},{1,1}} * {{c},{d}} => {{c},{d}}

其中，左侧的两个矩阵为，结果为单位阵。

等式右侧 {{1,-1},{1,1}}^-1 * {{1,0},{0,1}} * {{4},{2}}，即

结果为。

手动/分步计算等式右侧的话，在geogebra中并无必要，为展示计算过程的原理，我们展开一下。

先是

结果为，

然后结果为。

与此前解方程的结果相同。必然相同，回顾上一篇中两直线相交、解方程、矩阵解法，是方法上是等价的。

3.4 换个例子，验证

原坐标系中的点 (5.66,1.46)，这是随便点出来的。

新坐标系，第1个基底 (3,4)。为了模长为5而选，原本以为会方便计算，不此必要。第2个基底，是第1个基底顺时钟旋转了90度，得到(4,-3)。

保证正交、长度为1，构成标准正交基。

根据上文中的方法，

求得新坐标系下的坐标为 (0.91,0.73)。

方法一，解方程

或

或方法二，左乘新坐标基底构成的矩阵的逆。

。

验证一下，向量的第1个分量和向量的第2个分量，分别除以基向量，4.56/5和3.65/5，结果正是 (0.91,0.73)。

看上图中，在旧坐标系中的(0.91,0.73)的位置相对于旧基底，可以看出与新坐标系下向量相对于新坐标系基底的关系，这两个关系是相同的。

直线相交，二元方程，矩阵——读书笔记用geogebra重现

这是系列帖子的上，后面还有一篇。这两篇共同的主题是改变向量的基——使用 geogebra 演示。

1. 荐书

最近读了一本书，感觉非常不错。书名《程序员数学》，作者 Paul Orland，https://book.douban.com/subject/35689348/，下面图示中的这本书。微信读书APP可以免费阅读，排版尚可。

2．直线相交

在二维平面上，有两条直线，分别已知方程，求交点的坐标。

问题简单朴素，正可以用来熟悉一下如何在geogebra之中把方程、几何意义、矩阵对应起来。

下图中的两条直线、两个方程、矩阵，就是《程序员数学》中的实例。我们也用它讨论。

2.1 几何意义，与方程的关系

其中一条直线的方程如下。

输出方程的同时，在geogebra（的standard view）中就显示出了对应的直线。甚至在输入的过程中也对中间结果给出了图形，不过与论题无关，所以省略。

根据上图，我们能看出，斜率刚好是1；在直线上任意一点，x和y总是相等的。

另一条曲线的方程如下。为了与第一条曲线相区别，我手动改成了红色。

两条直线都显示出来了。可以把x和y分别赋值为0，求出对应的y和x，验证图中的红色直线是正确的。

手动标出交点，如下图所示。

即指行执行，如下图，求eq1和eq2这两个方程/直线的交点。

在平面直交坐标系上，可以看到这个点。

以上，是两条直线相交的几何意见，以及与方程的关系。

解两个联立的二元方程，与几何意见对应，即求两条直线相交的交点。在geogebra中的方法，其中一种就是如上所述，画出两条直线，把直线的交点标出来。除此以外，以下方法也有效。

2.2 解方程

用指令Solve，参数是两个方程外面括上花括号组成的 list。

由上图得到精确解，分数表示。鼠标单击约等号，得到下图，数值解，用小数表示，与此前的两直线交点所得结果相同。如下图所示。

2.3 矩阵形式

《程序员数学》书中给出的是矩阵形式，类似下图所示。

上图中的最后一行，geogebra给出了矩阵对应的方程形式。

方程左半边，即 x-y 、x+2y 与
矩阵形式的左半边，即乘法部分m1m2 的对应关系如下。

2.4 用矩阵解方程（1）

根据刚刚m1,m2,m3的定义，在等式左右两端分别左乘 m1的逆。

或者含义相同，geogebra中特有的写法。

然后，
等式左边，m1的逆与m1得到单位阵，向量{{x},{y}}不变；
等式右边，m1的逆与向量{{0},{8}}相乘得到向量 {{8/3},{8/3}}

$C:\Users\young\AppData\Local\Temp\WeChat Files\84c0415a4242da9029723dc00cdfa63.jpg$

严格地说，得到的并不是x和y的根，而是向量。

这里还有一些扣儿，与主题关系不大，我也不甚了了。姑且跳过，左乘一个矩阵的逆，这个方法在下一次的讨论中要用到，这里作为序曲。

2.5 用矩阵解方程（2）

标准的解法如下。

太阳的方位角变化是否匀速续使用excel描点或geogebra画函数曲线

在前文中，为了回答太阳的方位角变化是否匀速，特别是在日出和日中时相同时间内的方位角变化是否相同，我们根据天文观测数据，又通过立体几何（？）从原理的角度分析，得出结论太阳的方位角变化不是匀速的。不是匀速的，这个结论可以更精细一些，方位角（以及高度角）的变化符合什么规律呢？

太阳的方位角变化，涉及天文学里的球面坐标系转换等知识。假设，我们已经理解了这些知识，因此得到了一些公式。这些公式在网上不少，一般地都是对的，并且彼此可以验证。所以，我随便找了一下。

1. 高度角，使用excel描述

之所以需要高度角的原因，一方面，既然方位角变化不是匀速的，对于高度角的变化，我们也很好奇；另一方面，方位角的公式里有高度角，先求出高度角再求方位角更容易一些。

参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/641045406

高位角的公式如下

sin hs =sinφ·sinδ+cosφcosδ·cosΩ

其中

(1)hs 是高度角，待求的值。

(2)φ 为地理纬度，我们保持与前文一致，北纬42度。

(3)δ-赤纬，可以通过公式求得

在这里，我偷懒了，按与前文一致的时间 2016年1月1日，

在这里查表 http://www.jisuanqiol.com/baike/jk/3575.html

得到-22.99度。

(4)Ω-时角,deg (时刻-12)小时*15度/小时。时刻是唯一的变量。

在excel中，时角的公式为

=(E17-12)*15

其中E17是时刻的单元格。

明确了以上几个量以后，我们就可以根据时刻这个唯一变量，求得指定日期2016年1月1日，北纬42度太阳的高度角变化。不需要经度的原因，是因为我们使用当地时间。

在excel中，高度角的公式为

=ASIN( SIN(42/180*3.14)*SIN(-22.9/180*3.14)+COS(42/180*3.14)*COS(-22.9/180*3.14)*COS(F17/180*3.14))/3.14*180

其中F17是时角的单元格。

从7：30日出时起，至16：30日落时止，每隔1小时计算一次，我们得到以下表格。

其中时刻以小时为单位，例如7.5代表7：30分；

时角，是计算的中间过程；

高度角，为所求目标。

画图如下。

从图中我们可以看出，高度角从日出时0度，逐渐上升，在正午时25度左右。下午至日落，高度角逐渐降低。

细致观察我们也可以看出，高度角的变化不是匀速的，似乎日出时快，至日中时慢，与前文中的结论一致。

对高度角的变化，我们作进一步的定量分析，求每两次计算值之间（因为时间间隔一致，因此差分即斜率）。为了符合一般感觉，我们把对差值再取绝对值。这样，我们得到下述表格。

其中，diff为两次高度角之差，diff-abs为取绝对值的结果。绘图如下。

在上图中我们可以看出，高度角的变化/差分/斜率/导数，不仅早/晚和中午不同，而且还有更细致的变化规律。那可以由二次导求出。事实上，仅通过公式，我们也可以知道，其中有三角函数，变化一定不是线性的。

2. 方位角，使用excel描点

参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/526310019?utm_id=0

里面有个公式，我截图抄来如下。

可以得到以下方位角的公式。

cos 方位角 = (sin 赤纬 – sin 高度角 * sin 纬度 )/(cos 高度角 * cos 纬度)

有两点需要简单解读。

(1) 右式=cos 方位角，所以可以用对右侧式子取 acos，从而得到方位角；

(2) 要保持所角的都是角度制或者弧度制，并且符合所用工具excel的要求。

其中

赤纬查表	-22.99
高度角	已求
纬度	42

这样，唯一的变量是时刻。与上文中高度角一样，我们从日出到日落，每隔1小时求一次方位角。

2016年1月1日，北纬42度。

在excel中公式为

=ACOS((SIN(-22.99/180*3.14)-SIN(42/180*3.14)*SIN(B14/180*3.14))/(COS(42/180*3.14)*COS(B14/180*3.14)))/3.14*180

其中B14是时刻的单元格。

过12点以后，上述方位角公式失效，角度开始回转。所以我稍作改动

=180-ACOS((SIN(-22.99/180*3.14)-SIN(42/180*3.14)*SIN(B19/180*3.14))/(COS(42/180*3.14)*COS(B19/180*3.14)))/3.14*180+180

其中B19是时刻的单元格。

根据上述表格绘图，结果如下图所示。

我们可以注意到，早晨和中午的方位角变化，有5度左右的差异。日出和日落时方位角变化慢，接近中午，方位角变化快。正午前后，方位角变化慢了？

上述使用 excel，比前文中天文数据或立体几何中取几个点，看起来更具有一般性。并且，对于扩充到更多的数据，我们仍有潜力。

我们还可以做得更好，使用 geogebra画函数曲线

3．高度角，使用 geogebra画函数曲线

根据公式，我们得到 f(x)，如下。

其中，lat是纬度，我们暂定42度； dec是赤纬，我们暂定-22.99度。

绘出函数图像如下。

求导，得到蓝色曲线如下。

比excel描点的方法，我们能得到更多更密集的数据。

不仅如此。我们可以容易地修改纬度和赤纬。

上图是纬度为0、赤纬为0 的太阳高度角变化。早6点日出，晚6点日落。12小时白昼。作为对比，北纬42度的元旦，白昼只有9个小时。正午太阳高高角90度（90.01多出的部分，我猜测是计算误差）。

它的高度角变化，是均匀的。

很容易切换到北极圈以内，白夜，太阳永远不落到地平线以下。

4. 方位角，用geogebra画函数曲线

锁定纬度、赤纬，高度角由公式求出作为中间结果。

方位角公式如下。

叠加了高度角帮助判断日出和日落，绘出函数图像如下。

变化率，即求导的结果呢？下图中，绿色的曲线是对方位角曲线求导。

看来，正午12点左右，我修改过的公式有毛病，出现了间断点。其余的形状看起来都与excel描述的结果一致。哪位大侠知识正确的方位角公式，还请不吝赐教。

我们定位到北极圈接近北极点，赤纬接近0的那一天。

得到方位角持续不变。

这是超出了公式的有效范围，还是……方位角是南？如果方位角是南，那应该是180度吧。

后面的Geogebra函数曲线，我解释不了，超出我所了解的范围了。不过使用geogebra画曲线；改参数值，观察曲线立即变化，以及曲线导数的变化，很有意思。

5. 结论

在多数时间和地区，太阳的高度角和方位角的变化，不是匀速的。变化的速度持续改变，需要用公式或图像才能定量描述。

疑似，有些地区，有些时间，高度角或方位角的变化是匀速的。

(1)问题

这是在知乎上看到的问题。链接在此

一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？ – 知乎

https://www.zhihu.com/question/616149596

草率地想，当然啊，当然是匀速的。因为太阳在天空中划过角度的原因，来自地球的自转。在相当高的精度下测试，地球的自转都可以视为匀速。太阳初升到再初升，这是一个太阳日。同一星座，比如猎户，从初升到再初升，这是一个恒星日。二者略有不同，不过这个差异是恒定的，因此并不影响太阳划过天空时，单位时间的角度，也就是角速度，对角速度没有影响。

然而，对“当然”二字要格外小心。

我们忽略误差，假设太阳划过天空的角度是匀速的。然而误差真的可以忽略吗，即误差对肉眼无法察觉吗？

(2)误差存在

如果没有大气层的偏折，大阳划过天空的角度保持恒定，每小时 360/24=15度。

但是，由于大气偏折光线，导致肉眼所见太阳扫过的角度，在日出和日落前后比日中时要大。

参见为何在日出前，日落后，我们仍能看到太阳？。链接在 https://k.sina.com.cn/article_1808449333_6bcabf3500100goid.html 。

里面有张示意图，转引如下。

在非日出或日落的时间段里，在太阳的高度角较大，即更垂直于地面时，偏折的角度更小一些。

在日出和日落时段附近，光线偏折导致肉眼所见的太阳扫过了更大的角度范围，所以高度角变化速度更快。

这个误差有多大呢，是否能被肉眼觉察？文中提到，在明显的地点在赤道，大气偏折导致我们在日出时提前大约2分钟看到太阳。2分钟，太阳划过的角度是 2/60*15=0.5度。肉眼所见太阳的视角刚好是0.5度。也就是说，偏差达到1个太阳的张角那么大的。借助不太精密的设备，再降低光强对眼睛充分保护，肉眼是可以看到的。所以，这一误差不能忽略。

(3)发现错误

答完以上，发现美杨杨的张先生（https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17）提到

>日出没时高度角变化快方位角变化慢，日中天时相反

我还没有细想他说得对不对，但是！我审题不认真啊。答非所问，结论完全错误。

原题问的是什么？“一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？”讨论的是哪个物理量？方位角。

方位角是什么，大阳在大地上的垂直向下投影、与我即观察者作为夹角的尖儿、以及正北之间的夹角。要投影啊。

我答的是什么？我答的一直是太阳在天空中划过的角度。那是什么角度，那是如下图所示，太阳在黄色的平面上经过的角度。

题目问方位角是否匀速，我答了在太阳轨迹上的角度匀速。答非所问。

到这里，我们还不能知道，在太阳轨迹上太阳行过的角度匀速的假设下，是否能推得方位也是匀速的。但是，假设两个不同概念的值是一致的，这是不明智的，更何况这投影明显有角度存在，不是平行投影，两个值一致才怪。

(4)度量，实验检验

这时，简单地做法是既然对事实有争议，那就测一下好了。支起天文望远镜，支起史前巨石柱，还有各种上古或现代的设备……等等，这样相当花时间和成本。已有的测量数量是可以用的啊。

随便找一个网站，能根据指定时刻，给出太阳高度角和太阳方位角的。比如https://www.osgeo.cn/app/s1904。

如下图所示。指定经度，纬度，随便选了日期（以上在红框中）。给定一个时刻（在绿框中，在整个实验中要改变多次），点击计算按钮，得到一组天阳高度角和太阳方位角（在下方的两个红框中），记下来。

这样，如下图所示，我设置了5个*5组时刻（在红框中），组间内隔1分钟。得到了对应的高度角和方位角（在绿框中）。这5组数据分别是日出、上午、中午、下午、日落时分。

求出高度角之差的绝对值。考虑到高度差的变化可能为正，日出和上午，也可能为负，下午和日落。而题目关心的变化率应该对正负不敏感，所以对差取了绝对值。

求出方位角的差。

高度角的差和方位角的差都列在表中，根据数据画图，得到以下 chart。

其中蓝色的，表示高度角的差的绝对值，橙色的，表示方位角的差。在上图中我们可以看出，高度角的变化速度，在日出和日落时较快，在日中时最慢；方位角变化，在日出和日落时变化较慢，在日中时最快。上午和下午，高度角和方位角的变化符合相同的规律，即介于日出或日落时的速度与日中的速度之间。方位角速度最快和最慢之差达0.25度，高度角速度最快和最慢之差达到0.15度，分别达到太阳视张角的1/2和近1/3，不需要太精密的仪器是可以观察到的。

偏离一下主题。要想观测到这一事实，有个前提，导致在古代无法实施。我们可能想到，角度可以通过放大尺度，即圆的半径，比如把设备换成高大建筑或者山脉这种方法。这样角度可以测量得更精确。固定地点，以固定经度和纬度，这使得经度和纬度不需要精度。

然而，在这一事实的观测还有一个物理量，测量起来如此简单和精确，以至于我们甚至难以觉察到做过测量。但是没有这个物理量，或者精度稍低，整个测量就都不可能完成。

时间！我们上述数据中，精确到分钟。在古代，分钟，即每天的1/1440这种精度的时间，是不可信任的，至少不比太阳可信任。如果太阳是必须信任的，那么，就是信仰。质疑信仰，你就是坏人。后面不必讨论了。

回到正题。以上数据相当于实测。事实表明，日出、日落、日中的方位角变化，不是匀速的。事实顺便可以看出，不仅方位角，连高度角也不是匀速的。即使太阳在行经太阳轨迹时角速度恒定。

即使我们不知道为什么，不知道原理，甚至不知道每年365天中是不是只有我设置的那一天，甚至5千年里只有那一年的那一天才是这样——即使如此，事实仍然说明，在误差范围内，在可观测的精度下，太阳的方位角角速度不恒定。

(5)原理

原理就是倾斜平面的投影。具体原理是一顿三角函数，以及变化率。超出我的解释能力了，因此以下只给出一个例子。

假设地点为北纬42度附近，1月1日前后，所以太阳在日中时的高度角为25度左右。

如下图所示，我们用 geogebra 构造出符合天圆地方世界观的图。蓝色的天空，绿色的是大地。我们依据25度画出太阳轨迹的平面。金黄色的是太阳轨迹面，太阳在此经过。

我们在日初时分，即图的左侧，在太阳轨迹上划出10度。在日中时分，即图的右侧上方，在太阳轨迹上划出10度。这俩角度是相等的，只是因为拍照的角度，看起来日出时的10度的弧度要小一些，是相等的。

我们看日中时分，太阳在太阳轨迹前进10度。在这种情况下，高度角的变化和方位角的变化分别有多大。如下图所示，高度角变化-日中，太阳轨迹10度。

高度角的测量，是中心点至太阳和中心点至太阳在大地上的投影两条射线的夹角。

在图中可以看到，日中时，高度角（在图中这两个角是“竖立着”的方向）分别为24.73和25.15，
即高度角变化为25.15-24.73=0.42度。

方位角的测量，为太阳在大地上的投影，与中心点/我/观察者所形成的的连线这一射线与正北之间的夹角。所以方位角的变化，我们可以通过测量两次太阳的投影分别与中心点连线，这两条连线间的夹角。

如图下所示，我们可以看到，方位角的变化为11.09度。这个角度在大地上。

以相同的方法，我们测量日出或日落时的高度角变化、方位角变化。下图，日出时太阳轨迹上的10度。

如下图所示，在日出时，高度角由0度行至4.27度，所以高度角变化为4.27度。

如下图所示，日出时，方位角由变化为9.22度。

总结得到如下表格。

	日出	日中
方位角变化	9.22	11.09
高度角变化	4.27	0.42
太阳轨迹上的角度	10	10

太阳每小时在轨迹上转过15度，因此10度对应的时间为10/15小时即2/3小时，合40分钟。转换为平均1分钟的方位角和高度角变化。如下表。

	日出	日中
方位角变化	0.2305	0.27725
高度角变化	0.10675	0.0105

(6)结论

还记得我们根据实测数据画的 chart 么，就是下面这个。

我们只取日出和日中，求时段接近的每组4个差（或差的绝对值）的平均值。得到下面的表格。

	日出	日中
方位角变化	0.1675	0.255
高度角变化	0.1575	0.0025

对于（根据天文数据）实测和在Geogebra上测量结果略有差异，可能来自初值和我测量的误差。我在绘制 geogebra 时未能保证精确，有点移动了，人懒，没有重做。根据勾股定理复原一下场景，方位角9.22当为9.04左右，每分钟0.226度。仍大于天文数据实测得到的0.1675较多。

尽管存在差异，我们仍可以看出相符之处，数据表现出下述规律。

第一，日中时高度角变化缓慢，日出时高度角变化较快；

第二，日中时方位角变化较快，日出时方位角变化缓慢。

此前讨论过大气偏折造成的影响，当时没有特意区分影响的是在太阳轨迹上的角度，高度角，还是方位角。在日出前后，这种影响主要在高度角上，对方位角影响不大。

所以回到美杨杨的张先生（https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17）提到的

>日出没时高度角变化快方位角变化慢，日中天时相反

美杨杨的张先生的结论与上述实测和geogebra测量一致。

	日出	日中
方位角变化	慢	快
高度角变化	快	慢

回到问题上。

“一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？”

是的，一天中太阳方位角的变化速度不同。

（太阳方位角变化）不是日出和落时更快，相反，是日出和落时更慢。

锻炼十年（5）伤痛

2018年曾经写过一个系列，回顾自2008年起保持俯卧撑锻炼开始的历程，题目叫做锻炼十年。而今2023年，又五年过去了，有想增补的内容，仍放在这个系列中。虽然15年矣，为保持题目一致，还是叫做锻炼十年吧。反正，多出的五年，也没有多少进步。

这一篇谈伤痛。

（1）

即使持续锻炼，我所受的伤痛也算少的。

一个原因是我所做的大都不剧烈，特别是最近几年几乎完全排除了爆发力的训练以后。小学四年级开始，每次见眼科医生都会受到叮嘱，“不能做爆发性动作，不能受突然打击。”不然的话，可能导致视网膜剥脱。所以，我刻意避免了所有的对抗性运动，足球、篮球什么的。一般的情况下，可能只不过是积极对抗，或者稍微一不小心。对我来讲，可能后半辈子会非常不方便。视网膜剥脱是高度近视特有的危险。因于眼内压高，眼轴前后拉长，视网膜本来也处于岌岌可危的状态。一旦发生就失明了，虽然可以修复，但是非常麻烦。要脸朝下俯卧不动长达一个月（？）之久，一动就前功尽弃。在成年以后，经常遇到朋友同事对医生的交待不屑，“别什么都信大夫的，他们就吓唬人。”然而，每次都是相同的叮嘱，书上也是这样说的。而且，觉得无所谓的这些人里，没有一个可以替我承担。所以，可能受突然击打和需要爆发力的体育运动，我都避免参加。也因此受伤的机会少了很多。大学的时候，同学们踢足球打篮球，每次受伤的时候我都乐，“运动才会受伤，我不运动也从来不受伤。”

另一个原因是训练的理念。是哪本自重训练的书告诉我来着？拿不起来就别拿，抓不起来就别抓。不要使用爆发力，缓慢推拉。缓慢推拉对提高力量（也许还有增大维度）本身也是有帮助的，并且可以减少拉伤。

包括太极拳在内的动作要领，都包括先慢。对于锻炼而言后快不那么重要。通过缓慢的动作体会动作要点，哪块肌肉在什么时机发力，哪个关节在什么时候哪个受力。类似精读文章、做实验、练琴，亲身体会时没有办法滑过去。不借助重力，不借助惯性（冲量），纯靠自身肌肉，尽可能使用预期发力的肌肉。这些都要求慢，只有慢才能感觉清楚。练了几十天以后，经常发现，咦，这里还有个扣儿，又捋顺一个地方。

最重要的原因是，伤痛实在太费时间了。

一旦受伤，会有相当多的动作没法训练。拉伤的肌肉或关节本身不能发力，不能作为目标肌肉训练了。作为拮抗肌的训练也只能暂停。简直难以想像，人体居然是这么精密复杂的机械，内部耦合得如何密切，哪怕一个小地方受伤，几乎全体的训练都受到影响。更不用说像腰部这样的枢纽。暂停训练，会破坏计划，还会让原本正成长的部分搁置甚至衰退下去。小伤一周，稍微重一点的拉伤挫伤，一个月到三个月。年龄越大，需要的恢复时间越长。所以，宁走十步远，不走一步险。所以，活得长全靠胆小。只要不受伤，即使今天练不明白，明天也还能练。想起当年打游戏暴力摩托，屡败，几乎要放弃。二猫妈说，你别打那些NPC，冲过去。果然，只要不倒，就能轻松取胜。背单词，有时候想提高速度，也发现——不出错，是速度最快的方法。宁可降低速度，只要不出错，总的速度就最快。

爆发力，或者超出力量上限的重量，贸然尝试没做过的姿势。冲击数量或重量。这些都可能会受伤。身体疲劳，头脑不清楚，正在生病，这些也会加大受伤的可能。需要小心。

以下，是记录所受伤痛，包括训练带来的，也包括平时姿态不良的后果。还有自行作死的。

（2）脖子

不是运动的结果，我颈椎本来就不好。因为视力弱，所以看显示器的时候身体前倾，脖子再探。脖子在端肩的基础上，还向后折了一下。专注阅读和写东西的时候，其他的感觉都下降了，伤害逐渐积累到相当的程度才意识到。当年洗头时头疼，歪头也疼，颈椎按起来像有一包水，颈椎有一节的感觉按下来的手指上有刺。左右一歪头脖子里面喀卡响。

$C:\Users\young\AppData\Local\Temp\WeChat Files\f3a8de122350dd7f8479f0fe7023b8f.png$

后来，我练瑜伽的展臂功，就这一个动作。一天也就练个三次，一组。后来脖子好了。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/22593099?utm_id=0

展臂功用到的主要肌肉应该是斜方肌，同时可能缓解了颈部肌肉。斜方肌感觉上是为肩胛服务的，但是它的疲劳导致了脖子疼。人体的运动系统远比我想像得复杂，这是我练展臂功治了脖子最大的体会。

后来练引体向上，还有俯卧直臂支撑沿矢状面（从正面上举）持哑铃上抬手臂至与身体平行。这两个动作，有时不小心动作没有注意发力的顺序，或者动作走形，或者数量或重量过大，都有过导致过脖子酸疼，当天可能落枕，持续一周。现在我在做完以后感觉一下，如果不非常好，那就加练四向点头，特别是左右单侧沉肩向另一侧抻脖子。不用手助力，仅仅拉伸。感觉能缓解。

（3）肩

引体向上不仅可能伤脖子，还伤肩胛后面。有一段时间我追求数量，并且希望快点突破，在底端爆发性用力拉起。经常导致肩胛后面疼，感觉是上背部疼痛。有那么几块肌肉，我分不太清，大约是大圆肌、小圆肌之类的，总之是稳定肩胛用的。

拉起以前，先使肩胛达到指定位置，下沉，后夹（称为内收？），保持住。然后再发力拉起。如果不能形状开了，那么再来一次，先肩胛动作，然后保持住。如果保持不住，或者肩胛后夹做不到，那就离受伤不远了，应该休息。

不要使用爆发力拉起。可以快，这样能省力，但是不能突然。肩胛放松，沉到底，甚至两肩靠近耳边，发力行程更长了，但是肩胛和背阔肌同时发力，我的感觉是更容易受伤。

这个原则可以推广一些，即小肌肉用于固定，大肌肉作为主动肌主要发力；小肌肉先动作，保持，等长，大肌肉再发力。如果大肌肉已经动作了，小肌肉不可能再有力量改变姿态。在力量举的书里，也旁证了这一推测。

如果拉起时肩膀响，伴有轻微不适或者轻微疼的话，我的感觉也是因为小肌肉发力没有结束，姿态不能保持。宽握引体向上时，我目前经常有这种情况，通过收紧肩胛导致后仰躯体可以解决。深蹲时也一样，膝盖响或疼，通过小腿扭转的趋势，大腿内夹的趋势或外张的趋势，能解决。

左肩疼了很多年，按压后能缓解一阵儿。后来发现，坐着看文章或网页时，为了省力，我的左肘几乎总是搭在桌上，受键盘阻挡小臂与桌子边缘平行。这导致肩胛后侧持续过拉伸。

$C:\Users\young\AppData\Local\Temp\WeChat Files\2d1810f86b444ffe898920e058a8e4a.png$

能够发现左肩疼的原因，可能跟长期锻炼之后感觉更加敏锐有关。这是健身群里的大神饭后老打嗝或 Zack说的。不然即使天天去感受，也可能感觉不到。

在同一问题中，锻炼的经验对于姿态的矫正也起了作用。想起来就把左肩扳回来，而不是内疚自责。刚开始偶尔能注意到，那么能注意到多少次就算赚了。后来慢慢经常注意到，再后来不需要刻意注意也能保持不向前探左肩了。左肩的疼痛消失了，只有在偶尔长时间阅读屏幕的时候才犯，那时需要的不仅是注意而是间歇了。

右肩在引体向上的时候才发现问题。不刻意后夹的时候会向前探，可能是由于后背或肩胛的肌肉不如胸肌发达，所以拮抗牵引的结果就是有点圆肩。不用力时还好，用力的时候，比如引体向上数量稍微多点，或者引体向上时负重，或者直臂上举向后，或者面拉，右肩的角度不对，没有充分下沉和后夹，会导致响声或者疼。这个不仅需要刻意注意姿态，先固定姿势才发力，而且需要慢慢锻炼右肩后侧的肌肉。还在努力中。

因为常年用计算机，还有引体向上握住以后下拉，也有类似网球肘和鼠标手，有的时候也会有。因为经常关注状态，所以发现了休息一下，就好了。经常关注，是锻炼带来的直接效果。

七八年以前手腕常疼。认识我年头多的同学，会注意到我那时一直戴着护腕，有时是拆下来的线衣袖子，这个感觉最好。XL同学提醒我用引体向上或悬挂帮助腰椎，结果引体向上进步不大，因为握力（也许还有腕屈和腕伸）提高，手腕不疼了。这个故事告诉我们，很多关节的疼痛来自肌肉力量不足。

（4）腰

还是因为近视，不仅向前探脖子，而且以胯骨（上缘还是下缘？）为轴，上半身前倾。腰的负担非常大，长期受到剪切力的作用。

又，我的关节延展度先天好，经常玩儿直腿体前屈。终于有一天玩脱了，我觉得是这个原因。直腿体前屈以后，第二天早晨第一次腰突。想来可能早有征兆，也许早就犯了，但是我并不知道。如果更早就是腰突的话，那么当年坐在软床上，以为是腰扭了，可能才是第一次腰突。

总而言之，腰突并不是运动带来的结果，而是姿态不良之类的生活习惯导致的。锻炼对腰突以后的生活有帮助。

虽然由于腰突，对于前倾上半身的动作都要格外小心，甚至干脆就跳过不做，但是锻炼对腰突有帮助。一方面，温柔地训练加强了腰部附近的肌肉，有利于稳定腰椎。另一方面，锻炼提高了感受的敏锐程度，更容易意识到“不好，季节有变”或者“有点疲劳，离腰突不远矣”。能更早，在更轻微有预兆的时候就开始休息。

练平板撑，恐怕长至第七八年。如果算上俯卧撑的话，15年了。我才注意到在平板撑这一类姿势中，骨盆后倾，用腹肌发力，避免腰肌代偿。联想到武术动作里略微小腹突起什么的，感觉打开了一扇大门。充分体会到活到老、学到老，底层有无限空间无限细节可供玩味。

（5）大腿

练靠墙倒立的时候，因为空间大腿受伤。练倒立需要有足够的空间。

上下的空间要够。倒立的高度相当于双手过顶举直臂，这需要2米左右高度。靠墙倒立，需要有一面墙。也就是说，门不行。因为门框的高度不够两。保证倒立时脚踢到门框以上，对动作需要有格外的要求。锻炼，而不是练得纯熟显摆的话，要留有充分余量而不要另外限制。危险。左右和身后的空间也要够，需要保证倒下来的时候可以不被阻挡，脚就能踩实地面。不然也危险。

我练靠墙倒立的时候倒向右方，那里是个一米高的铁架子。大腿青了块，就像被棍子斜着实打到。好在没有骨头没有事。印象里花了好几个月，印子才逐渐退下去。

还是大腿，用木棍当剑挥劈的时候，姿势不对，劈在了大腿上。疼！所以后来在网上看到有人提醒说练刀剑的时候要小心，有人表达了不屑。我想，如果当时我用的不是木棍，而是刀，如果再开了封……嗯。

大腿的这两次伤痛，都是运动伤害，作死的结果。

（6）膝盖

初中的时候家里盖了新房子。为了结实，地基石足有一米高。当时我们都不懂，我就靠窗户看书，右膝靠近地基石。可能只一个冬天？我的右膝从那以后经常疼。前几年用核磁共振检查了一次，结果是没大事，保守治疗。

选不太费膝盖的动作，加强膝盖周边的肌肉。还在努力中。现在验证了的是，在深蹲等动作中，也包括主要单腿发力的动作，令小腿和大腿均有扭转的趋势（并不真的转，而是绷紧），对缓解膝盖疼或响都有用。另外，注意大腿后侧参与发力，因此可能调整了角度，也有帮助。

有次送毕业生团建，打真人CS。在山坡上来回跑，一脚踩到坑里，膝盖当时有点疼。疼了半年，做俯卧撑的时候小腿向前发力的时候难以保持。这个故事告诉我，非常多的肌肉与各种动作错综复杂地联系在一起，俯卧撑居然需要肌四头肌，也因此需要膝盖。好好的时候，根本不会注意到它存在。

膝盖的老伤，算姿态不良。后来那半年，算运动伤害，作死的结果。

（7）小腿，脚踝，脚

小腿后侧鼓起个包。相当长时间我觉得那是静脉曲张，毕竟教师职业和年龄，还有喜欢徒步都会导致高发。后来有天突然想起来，可能根本不是静脉曲线，而是弹力带撸的。作死的结果。

当时的动作是把弹力带一端固定在面前的高低柜腿上，另一端卡在脚踝上，后踢腿。秃鲁了。当时紫了一块，怀疑静脉曲张以后很久才意识到，就是那里。

脚跟（滑囊炎），脚踝，脚掌和脚拇指都受过小伤，几乎全是夏天非常热徒步的时候，头脑不太清楚，在疲劳的时候动作没有控制好。

（7）发烧，腹泻，新冠

几乎都不是运动导致的，但是可能由运动加重。

新冠最吓人。目前看，根据心率和感觉，两次发作，每次之后一个月以上，应该更久，不能恢复到发作前的强度。

（8）意外的好处

年轻的时候，为头皮挺烦的。也听说过各种洗发精，还有什么，洗头的东西，也试过不少。理论上，有说是血热的，有说是真菌吃头皮的，不一而足。

最好的办法是每天洗，就没有头皮了。

气候干燥的原因，如果天天洗澡，皮肤会干，多数人会皮子紧（字面意思，不暗示熟皮子），会痒。而且由于缺水，以前并没有天天洗澡的习惯。但是锻炼之后出汗实在太多了，所以天天洗，头皮也没了。

（9）危险

即使我做的多数是自重训练，也用哑铃这种小重量的，但是仍有危险。有过闭气时眼前一黑的时候。有过心脏咯噔一下，我心想哎呀不好。都没事。有过并非正锻炼的时候，心律不齐。先是感觉心慌得奇怪。用手环一测，心率相当低。二猫用手一搭，说，每跳几下，有两下跳得非常弱。好在都是一过性的。不过，我在锻炼的时候尽可能注意，不要闭气。推不起来就不推，举不起来就不举，拉不起来就不拉。

设备翻倒之类的有危险。引体向上架子，我的没有掉下来，但是在视频里看到过。二猫妈要求我不得做双腿抬起的动作，不然就把架子拆了。确实相当危险。

卧撑，我始终不敢做。到目前为止，图书馆翟老师保护的，我只做过一次。

群里的饭后老打嗝的锻炼方式是举铁，他提到小重量有些特有的危险。因为重量小，所以可以靠其他肌肉代偿完成动作。时间久了，会劳损。我怀疑，引体向上时我拉伤肩胛后侧，就因为代偿能解决，才经常弓背拉伤的。如果代偿也拉不起来，只能专注正确的发力姿势了。

解除 Dell显示器电源按钮锁

1. 故障现象

我的显示器莫名其妙出现了个现象。本来，手指轻按电源按钮，显示器就会关掉。电源按钮，就是显示器右下方，如下图所示箭头所指的黑色突起，左数第5个。以前按完以后，图中的蓝灯灭，显示器也同时黑。

现在，轻按电源按钮，蓝灯不灭，显示器不黑。显示器正中央出现提示，如下图所示。“电源按钮锁住了”。

隐约有印象锁过。但是印象模糊，也不记得如何锁，更不知道如何解锁了。这个功能看起来不错，所以这不是 bug，而是厂商的特性吧，undocumented。

在网上一顿搜，看到HP和Dell的显示器有人问有人答。试了各种方法。什么长按10秒，长按20秒，还有说15秒、30秒的，都无效。有的说，说找能源菜单，禁用OSD，诸如此类的，没有菜单、没有菜单项，甚至有的没有那个按钮。还有联系售后客服……嗯，这是个万能解决方案。但是一想到电话以后，要被从最幼稚的问题问起，没有个把小时拆腾不下来吧。