一次失败的抛物线正等测投影变换，以及什么情况下才能放弃

1.问题

1.1 跳一跳

技术训练只有通过实践中才能完成，仅仅看书做习题是不够的。学生训练技术，有真实的项目当然最好。不过研究生一年级的同学一时还不能在项目中做出足够贡献，加中培训和管理上的开销，提后腿也极有可能。所以，我们找个小项目“跳一跳”模仿一下，提高代码量。

跳一跳中涉及一个可以从代码中抽离出来的问题，剥离出来交给了GYB同学完成，锻炼数学模型应用、工程管理中的项目进度跟踪和控制，以及技术文档写作。

跳一跳是个伪3D游戏，观察者固定在斜上45度，视角不能旋转。涉及到的具体问题是，三维空间中的抛物线如何在二维屏幕中绘制出来。

01

1.2 绕过问题

在解决跳一跳中的这个问题过程中，我再次发现同学们的一个不良习惯，就是绕过问题。

很多年来，我发现同学们在没有确定否定论证的情况下，习惯于”绕过问题”。你如果问，能”确定解决么”，他说“不能”。你如果问，“确定不能解决么”，他也说“不能”。就是打算换条路，在这条路还没有走到死胡同的情况下。“也许另一条路行吧”，这样的心理，伴随着“也许这条路不行吧”做出绕路的决定。在大一点的颗粒度中如此，在以几分钟为单位的任务中，也是这样。这些小任务中的犹豫、模棱两可，导致不敢怼人，被怼时也只有情绪没有反击的逻辑。

在一起工作时，我经常希望同学们能有”断然的决心”去做实验，或者去否定。”不知道”的状态不可取，在”不知道”的情况下冒然决定退出，就和冒然决定进攻，一样地不负责任。

什么情况下能确定可以退出这条技术路线呢？花了足够的时间，或者所剩时间不多，有时是可接受的理由。这是出于项目的时间成本和截止期限考虑。

还有时同学们对导师、专家、上级工程师的否定非常恼火，”你怎么就知道不行”。这个问题的答案和决定退出某条技术践线的答案是相同的。就是 技术可行性。当确认技术没有可行性时，就是放弃的时机。如果在开始之前就论证了技术不可行，那么就没有必要开始，也就避免了浪费时间。

所谓技术不可行，不是具体的“你”做不出来，而是要说明沿着这条技术路线，任何人也做不出来。这就是要证明导师、上级工程师部署的技术路线是错的。至于任务本身，永远是正确的。

在本次作业中，我感到有必要用一个实例展示，什么样的才是技术不可行，以及在失败的任务中，我们能留下些什么。

2.涉及的概念

2.1 投影

有同学认为，抛物线，画出来不就完了么。水平初速度不变，垂直方向上有重力加速度。那是现实世界，在软件实现中还需要计算机图形学。

如下图，现实世界三维空间中一只真实的手把一张纸按在一本真实的书上。从书的近大远小中我们可以看出，整张照片存在透视失真，所以纸张也是近大远小的，抛物线当然也是。

02但是人类可以借由脑补想像出这张纸上画了一条抛物线，不是近大远小的，而是如下图这样。

03

这是三维空间中抛物线做俯视投影的结果。

投影是三维空间到二维间空的运算，需要借由机器来完成，而不由人脑负责。投影在计算机图形学和程序设计实现中，使用矩阵乘法来完成。下文有对于矩阵乘法稍微详细一点的解释。

2.2 正等测

正等测，是把如上的抛物线投影成下面这张照片的样子。同时，图中把右手系XYZ三个轴也做了正等测投影。

04

你可能仍然觉得这是三维空间的图形。下图是我从上图描出的，去除了无关细节。图中三个坐标轴，把360度均分为3等份，用量角器容易测出，每份120度。也就是说，原来垂直90度的三个坐标轴，在变换后是平面内的120度。以这样的思路观察，下图中的“抛物线”则更明显是二维平面(你的显示器)中的一条曲线，它的顶点并不在起点和终点的正中间，与原来的抛物线不同。甚至不能一眼就看出来是不是抛物线。

05根据正等测的定义[https://en.wikipedia.org/wiki/Isometric_projection]，对抛物线的每个点做如下操作: (1)先绕y轴旋转 45度，(2)然后绕x轴35.264度，(3)最后向xy平面投影。35.264度这个有零有整的数字，是因为arcsin(tan 30°)大约是这个角度，目的是原来的坐标轴完成两次旋转后，刚好与原本的正方体不在同一表面上的两个顶点(下图中的红线连接的两个顶点)重合。也就是说，正等测是从这两个顶点的连线的角度，即这两个顶点看起来刚好是重合的。

06

上图的立方体正等测以后看起来如下图(来自wikipedia)。立方体共8个顶点，图中可以看到7个，其中一个在正中间(也是标注120度角的顶点)，另外6个投影后是六边形的6个顶点。有一个顶点看不到，在正中间顶点的后面，在视线中与正中间的顶点重合。

07

2.3 变换矩阵

《计算机图形学》教材上提到，二维/三维图形的平移、旋转、扭转、错切等变换，都可以通过对空间中的点的齐次坐标做矩阵乘法完成。

我手头的教材是下图这本，在豆瓣和京东上都查不到，我怀疑我买了本假书。

08

2.3.1 点的变换

设置点的齐次坐标为
(x y z 1)，以下矩阵乘法能完成关于 Z 轴进行对称变换。

09得到的结果如下。

10使用矩阵的好处是所有变换运算都是矩阵乘法，不必每个单独考虑，需要哪个变换就用对应的矩阵。

2.3.2 隐函数形式曲线的变换

曲线的变换，方法1，可以先采样，即把模拟、连续的曲线离散化，然后对每个采样点做变换。曲线的采样的变换，等价于曲线的变换的采样(什么原理？)。

曲线的变换的另一种方法，方法2，先对曲线变换后再采样。在孙家广老师的教材中，是“7.3.3 参数图形的几何变换”。这里的参数图形，当指由参数控制形状的图形，而不是参数方程。

例如，隐函数形式的特定抛物线方程，如下。

11这一方程可以表示为矩阵乘法的形式，下面3个矩阵相乘的结果就是上式的等号左侧，x^2-y。

12
参见[https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_representation_of_conic_sections]

因为z值是任意的，所以方程形成一个抛物面，如下图中橙色曲面所示。蓝色平面是z==0，即XOY平面，用于帮助我们读图。

13

抛物面沿X轴向左平移1，得到下图。橙色是抛物面，蓝色是没有参与旋转的XOY平面，用于帮助读图定位。

14沿x轴平移使用了本节提到的方法2，如下。

15

式中第2个矩阵与采样点沿x轴平移的变换矩阵是相同的，第4个矩阵是这一变换矩阵的转置，第1、3、5个矩阵是方程x^2-y的矩阵表示形式。

以下这段是矩阵及矩阵转置连乘的几何意义，不熟悉mathematica语法的读者请跳过。熟悉这些知识的同学，以下我的猜测，没有找到依据，如果您发现有错，恳请能告诉我。

(1) 三维齐次坐标 矩阵和方程间的转换

In[19]:= A =
 {{a, b/2, d/2, h/2}, {b/2, c, e/2, j/2}, {d/2, e/2, g,  k/2}, {h/2, j/2, k/2, f}}
 Out[19]= {{a, b/2, d/2, h/2}, {b/2, c, e/2, j/2}, {d/2, e/2, g, k/2}, {h/2, j/2, k/2, f}}
In[21]:= Expand[L.A.R]
Out[21]= {{f + h x + a x^2 + j y + b x y + c y^2 + k z + d x z + e y z + g z^2}}

(2)矩阵及矩阵转置连乘的几何意义

第一

L.RZ.A.Transpose[RZ].Transpose[L]

L是{x,y,z,1}，几何意义是任意一个点。

L.RZ 得到 {x',y',z',1}，是这个点的变换。

以上是几何变换中常用的。

Transpose[RZ].Transpose[L]，Transpose[L]左乘RZ的转置，几何上等价于于Transpose[L]右乘RZ，得到{x',y',z',1}的转置。

L.RZ.A.Transpose[RZ].R

变成

 {x',y',z',1}.A.Transpose[{x',y',z',1}]

第二

{x',y',z',1}.A.Transpose[{x',y',z',1}]与L.A.R的形式相同，

其中{x',y',z',1}是{x,y,z,1}的变换。

 

L.A.R，根据矩阵乘法得到 f(x,y,z)。

In[19]:= A =
 {{a, b/2, d/2, h/2}, {b/2, c, e/2, j/2}, {d/2, e/2, g, k/2}, {h/2, j/2, k/2, f}}
 Out[19]= {{a, b/2, d/2, h/2}, {b/2, c, e/2, j/2}, {d/2, e/2, g, k/2}, {h/2, j/2, k/2, f}}
In[21]:= Expand[L.A.R]
Out[21]= {{f + h x + a x^2 + j y + b x y + c y^2 + k z + d x z + e y z + g z^2}}

2.3.3 参数方程形式曲线的变换

抛物线x^2-y==0的参数方程为

16

17正等测变换矩阵为

18

在Mathematica中，参数方程表示为

tf = {t, t^2, 0, 1}

变换矩阵表示为

T = {{0.7071, 0, -0.4082, 0}, {-0.7071, 0, -0.4082, 0}, {0, 0, 0.8165,0}, {0, 0, 0, 1}}

对参数方程做正等测变换

tf.T

得到

{0.7071 t - 0.7071 t^2, 0, 0. - 0.4082 t - 0.4082 t^2, 1}

即参数方程

1920注:参数方程的方法是由典同学提供的。在请教他以前，我把“参数图表”误读为参数方程，已尝试了9个小时以上。典同学花了20分钟不到，给出了上述方案，这20分钟还包括学习正等测是什么，以及复杂mathematica语法的时间。没有他的指导，我还在隐函数的沼泽挣扎。事实上，我又花了10小时以上，想找到隐函数的可行之路，直到认定这条技术路线不可能。所以，才有了这篇博客，目的是给出失败的过程，以及说明在什么情况下才能认定可以放弃。

2.3.3 Mathemathica

本文中的运算和推导使用了数学工具Mathematica做符号计算和矩阵运算，这一工具由典同学再三推荐多次。的确非常有力而精美。

3. 技术路线

求三维空间中的正等测投影，计划分成以下几个步骤。

(1)三维空间中的抛物线ab0是抛物面a0与平面b0的交线。特别的，在跳一跳中，是z值任意的抛物面a1与z==0平面即XOY平面b1的交线。

21

(2)对抛物面a1做正等测(前两步，绕轴旋转不投影)变换得到a2; 对XOY平面b1做正等测(前两步，绕轴旋转不投影)变换得到b2。

(3)把a2与b2的交线投影到XOY平面，所得曲线ab3为a0与b0的交线的正等测投影。

40

涉及到的技术包括: 抛物面的隐函数和矩阵表示、平面的隐函数和矩阵表示、正等测投影的矩阵乘法、隐函数的旋转、复合变换、代表交线的方程组、投影。

4.技术路线实施过程

实施过程记录的原则包括利(1) 原理及对原理的实验验证，(2)为方便实验重现而应公开的技术手段，包括依赖的原理(模式)、预期的实验结果、实验条件、实验中每一步的方法、每一步的结果，结合原理对实验结果的解释，(3)实验成功还是失败，或者说，不使用成功或失败这样的表达方法，而是描述为实验符合预期、实验结果与预期不符。

实验的目是的旁证或证伪猜测，而不是为了探索。所以实验的结果一定是有预期的，实验结果要么符合预期，说明猜测不是错的(也不见得是对的)，要么不符合预期，则证伪了猜测。

4.1 抛物面

L={{x,y,z,1}}
R={{x},{y},{z},{1}}
A={{a,b/2,0,d/2},{b/2,c,0,e/2},{0,0,0,0},{d/2,e/2,0,f}}
a=1;b=0;c=0;d=0;e=-1;f=0
ContourPlot3D[{L.A.R==0},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},AxesLabel->{X,Y,Z}]

其中L.A.R是抛物线隐函数形式的矩阵表示。

24

4.2 XOY平面

Z={{0,0,0,0},{0,0,0,0},{0,0,0,1/2},{0,0,1/2,0}}
ContourPlot3D[{L.Z.R==0},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},AxesLabel->{X,Y,Z}]

其中L.A.R是XOY平面的隐函数形式的矩阵表示。

25画出的图形如下。

264.3 抛物面与平面相交的几何直观

ContourPlot3D[{L.Z.R==0,L.A.R==0},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},AxesLabel->{X,Y,Z}]

如下图所示，方程组{L.Z.R==0,L.A.R==0}即{x^2-y==0,z==0}的几何含义是平面与抛物面的交线。

27

4.4 验证矩阵乘法实现平移变换

以上验证了隐函数的矩阵表示。如果画出的图形与期待的不一致，那么隐函数的矩阵表示就是错的。如果画出的图形与期待的完全一致，并不增加任何信息，只是旁证。Mathematica以及设计实验动手的价值，在于尽力证伪某个观点。在这个案例中，被检验的观点是 隐函数的矩阵表示是正确的。

接下来验证用矩阵乘法点的平移变换，作为矩阵乘法实现变换的特例。如果矩阵乘法变换的结果并非平移，那么矩阵乘法与变换间就不是等价的。

点(x,y,z)的齐次坐标形式，沿Y轴平移0.5。

28在Mathematica中，输入如下代码，等价于上面的矩阵相乘。

29所得结果{{x, 0.5 + y, z, 1}}表明，纵坐标数值增加0.5，即偏移0.5。实验结果旁证用矩阵乘法与平移是等价的。

4.5 隐函数的变换

具有隐函数形式的图形的变换，先变换后采样，相比先采样后变换，性能更高。因为先变换后采样矩阵乘法只做1次，时间复杂度是O(1); 先采样后变换涉及矩阵乘法的次数随采样点增加而增加，时间复杂度是O(n)。

设隐函数的矩阵表示形式为 L.A.R, 要做变换的矩阵为T，那么隐函数变换为 L.T.A.T的转置.R。

In[90]:= MX = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {2, 0, 0, 1}}
Out[90]= {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {2, 0, 0, 1}}
In[70]:= L.A.Transpose[L]
Out[70]= {{x^2 - y}}
In[102]:= Expand[L.MX.A.Transpose[MX].Transpose[L]]
Out[102]= {{4 + 4 x + x^2 - y}}

变换前的原图(用[https://www.wolframalpha.com/]绘制)为

30

31变换矩阵为

32变换后即(用[https://www.wolframalpha.com/]绘制)

3334

4.6 隐函数的变换的复合

假设知道什么“基本”运算，我们发现对于隐函数表示的图形A，当可以表示为下述形式时

L.A.R

对A所做的“基本”运算可以以如下形式表示。

L.T.A.Traspose[T].R

其中Traspose[T]是T的转置。

在教材中查到的基本运算包括平移、旋转、放大缩小等。绕X轴或Y轴或Z轴旋转，不是基本运算，需要分解为(1)平移至轴M1，(2)绕轴旋转RX，(3)平移回原位M2。这三步运算的复合表示为如下形式。

L.M1.RX.M2.A.Traspose[M2]. Traspose[RX].Traspose[M1].R

(我不知道什么是“基本”运算，求助。)

4.7 正等测变换矩阵分解

正等测变换矩阵为

35代码形式MatrixForm[{{0.7071, 0, -0.4082, 0}, {-0.7071, 0, -0.4082, 0}, {0, 0, 0.8165, 0}, {0, 0, 0, 1}}]。

分解为绕Z轴旋转、绕X轴旋转、向XOY投影。观察角度不同，所以与本文中此前引用的wikipedia中的不同。

RZ = {{1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2], 0, 0}, {-(1/Sqrt[2]), 1/Sqrt[2], 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}

RX  = {{1, 0, 0, 0}, {0, Sqrt[2/3], -(1/Sqrt[3]), 0}, {0, 1/Sqrt[3], Sqrt[2/3], 0}, {0, 0, 0, 1}}

PXY = {{1, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}

N[MatrixForm[RZ.RX.PXY]]

36因此，两矩阵相同，因此正等测变换可以分解为三个运算的复合。

顺便一提，正等测变换矩阵的精确解为

37

4.8 正等测变换矩阵实例

(1)原始图形为抛物面与XOY平面。

ContourPlot3D[{L.A.Transpose[L]==0, L.Z.Transpose[L]==0},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},AxesLabel->{X,Y,Z}]

38(2) 绕Z轴(图中为纵轴)旋转45度。

ContourPlot3D[{L.RZ.A.Transpose[RZ].Transpose[L]==0, L.RZ.Z.Transpose[RZ].Transpose[L]==0},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},AxesLabel->{X,Y,Z}]

39我们注意到XOY平面相对Z旋转时，变换结果与原图相同。XOY平面与抛物面交线所得抛物线的轴由原图中的平行于Y轴旋转为穿过图中(2,2,0)，转过45度。

(2)绕X轴(图中为横轴) 旋转arcsin(tan 30°)约合264度。

ContourPlot3D[{L.RZ.RX.A.Transpose[RX].Transpose[RZ].Transpose[L]==0, L.RZ.RX.Z.Transpose[RX].Transpose[RZ].Transpose[L]==0},{x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2},AxesLabel->{X,Y,Z}]

40我们注意到原图中蓝色的XOY平面穿过右上角顶点(2,2,2)和(-2,-2,-2)。从对角线(2,2,2)到(-2,-2,-2)看去，蓝色平面是一条直线。下图为上图手动旋转变换视角，可以看到蓝色平面看起来是右上到左下的直线。

41下图中的绿线是手动标注的，从这个视角看，得到抛物面和蓝色原XOY平面的的交线在XOZ平面的投影。这一投影即原图中抛物线 y=x^2 在正等测结果。42

4.9 交线方程组的矩阵表示

Z平面做正等测前两步(两次旋转，不含投影到XOY)得到矩阵可以表达为方程(我们称为a)。

抛物面做正等测前两步(两次旋转，不含投影到XOY)得到矩阵可以表达为方程(我们称为b)。

方程a与方程b联立的方程组如果可以表达为矩阵形式，就可以再利用隐函数(矩阵形式)变换的方法向XOY平面投影，从而完成正等测运算。这时我们遇到了解决不了的困难，是找不到方法把方程组表达为矩阵形式。形如L.A.R的形式似乎是方程所特有的，方程组并不能用。

这是本文最主要的写作目的: 在什么情况下我们可以停下来——当我们走投无路，理论(或者我们再无办法)。判定可以停下来的出口条件包括，能够清楚描述遇到的障碍，并且能够说明面对这一障碍时我们作了哪些尝试(以及这些尝试的理论来源)、结果。

这样，一旦幸运地遇到位高手，他就会知道这些这些这些我们都已了解到了，因为资料的开放，他容易判断出在某某处我们推导错了，或者某某情况我们没有考虑到，因此得到了错误的结果。或者他根据我们开放的资料也做出相同的结论，即这个方法是不可行的。不会出现那样的情况，高手说，其实你那么试一下估计就行了，你说“我试过了，只是报告里没有提到”，浪费了高手的时间。或者更糟糕的，你所说的“我试过了”由于表达粗糙，加之对高手给出的方案理解错误，所以错失了可行的手段。你以为不行，是因为你没有理解高手的路线。详尽地披露实验过程，有利于接受质询和指导。在我们的文化中，习惯于隐藏以获得信息不对称带来的利益，比如避免丢脸。但是技术问题是科学问题，不会因我们的隐藏而放过我们，当别人能实现我们声称做不到的工作时，才是更丢脸的时候。

对于方程组的矩阵表示我作了如下尝试。

(1)方程两侧分别相减、相乘

这种方法也是教材和网上一些资料中提到的。如果方程左右两边分别相减，按右侧为0的表达方法，右侧仍然是0。这一方法的理论来源应该是高斯消元。不过在左右相减的过程中，把方程a和方程b的左边都为0退化为方程a或方程b的左边任何一个为0，条件弱化了。所以，得到的结果不是抛物面与平面的交线，而是抛物面以及平面的组合。

(2)解出每个方程的根，然后令这些根之间相等

这种方法是典同学给出的。比如，每个方程都假设y是已知量，用y表示x。解出x以后，两个方程的x相等。这在几何上的意义就是两个方程的x和x、y和y一一对应的分别相等。

这一方法的实施，即下文提到的“引入参数方程”。

(3)换个维度

如果从线性代数的角度看，所有的方程组都是更高维度的方程。这是数据与统计学院LBH老师在去北京的夜车上听完我的问题，第二天肯德基早餐时给出的方案。这一方案不适合于我的原因是，这样的高维方程不能写成三维齐次坐标系的矩阵形式。

(4)引入参数方程

教材和网上不少贴子都提到，把其中一个面写成参数方程形式，然后把x,y,z代入另一个方程。参数形式与隐函数形式联立的含义，相当于两个方程联立，解出一个方程。在方程1中的(x1,y1,z1)与方程2中的(x2,y2,z2)，具有关系 x1==x2 && y1==y2  && y1==y2。

这一方案的问题是，在这时我已经得到了典同学给出的对“抛物线的正等测投影解析解”的答案，是用参数方程。他的方法从最开始就用参数方程表示抛物线，然后把抛物线乘以正等测变换矩阵。如果从一开始我就用了参数方程，就不会绕路走这么复杂的隐函数路线。走隐函数路线的一个原因，正是希望不用参数方程得到解析式——或者证明这条路线是不可行的。如果再回到参数方程，就相当于此路不通，不过从头就用参数方程。

(5)各种交线投影

网上不少资料，如[https://www.wesiedu.com/zuoye/6686898241.html]，把投影视为一种特殊的运算。这时，不必给出方程组的矩阵形式，接下来也不用矩阵表示变换。这些投影的特殊之处在于，只需要把某个坐标的值改为0。比如向XOY投影，就是Z值变为0。这一方案的问题在于，违背了我们最初的一个动机，希望得到更一般的形式。GYB同学的方法，用四点表达圆锥曲线，我希望作为单独的路线，原因也在于此。因为GYB同学的方法只特别的对圆椎曲线有效，就像投影的方法只对投影有效，不具有更一般的意义。从工程的角度，对于跳一跳，数值解查表法足够了，并不需要解析解。

(6)只画线，不求解方程组

网上不少资料给出了画线的方法，但是并不解方程组。接下来原本的计划是想用矩阵形式表达方程，然后用矩阵做变换。只画线而不得到方程，不满足要求。

这样的资料如[https://mathematica.stackexchange.com/questions/5968/plotting-implicitly-defined-space-curves]，

以及[https://www.zhihu.com/question/27820638]。

4.10 投影

这一小节，是从计划时就给了的，就像小学老师要求写作文时列大纲。只是因为上一步无法完成，这一步就无法抵达。

仍然保留这一小节的意义，是希望展示 技术路线的实施是以计划为前提的，而不是走一步看一步，走到哪算到哪。

5. 障碍小结

RH同学提到过某个项目非常快的失败了，挺遗憾的感觉。在我看来，项目能快点失败是件好事，避免消耗更多的资源，如果最终仍然会失败的话。工程是以逐利为目的，这是工程上纯功利的看法。如果会失败，请尽快。除此以外，失败的项目才是主流，大多数项目都或多或少失败了，而完成成功的非常少。这些失败带给我们的教益，远比成功要大。即使你按成功的项目的方法再来一次，也不见得成功。但是你按失败的方法再来一次，一定失败。所以对于失败的认识非常可靠，可靠地指导我们未来的实践。

因此，知道卡在哪里，因何而失败，需要解除哪些障碍才能继续。这些总结非常重要。

5.1 隐函数变换的结果是0==0

这是典同学否定隐函数的第二个原因。第一个原因是他不喜欢。

如果变换是不可逆的，在变换中会出现变换结果为方程左右两边都是0，从而方程不再是对未知量的约束。这种情况下，变换的结果不再是方程，所以就做不下去了。我通过改变旋转方程绕过这个问题。即为变换做了特定的参数约束，保证可以继续推算。

5.2 变换所得2个曲面的交线是方程组，不能得到隐函数据的矩阵表示

这个障碍我没有绕过。除非使用参数方程，我无法得到隐函数的矩阵表示。因为我打算只使用隐函数解决这一问题，如果使用参数方程就证明我的路线不行，所以这一路线就此搁浅。

6. 致谢

刘典先生

没有他的帮助，我们极大可能无法解决这一问题。后来，我们沿着他指导的路线继续，放弃了本文尝试的方法。

GYB同学

他具体尝试了我的错误路线和刘典的参数方程路线。他告诉我需要更多了解卡住的细节、进度，以及在沟通方面我仍需努力。

DQT同学

她描述需求，给出需求对问题的约束，还提供了棋子小人翻着跟头在正等测空间中划出的抛物线。

LDT同学

他尝试给出垂直平面的直角坐标系上的二维分解，使我明白三维视角、正等测视角的解释是个艰难的问题。

7. 参考资料

[1]孙家广: 计算机图形学(第三版)，清华大学出版社

本文中所有“教材”二字，均指此书。

[2]GYB同学分别给出的数值解和解析解求法

[https://www.cnblogs.com/gaoyb348/p/9032907.html]

[https://www.cnblogs.com/gaoyb348/p/9042867.html]

[https://www.cnblogs.com/gaoyb348/p/9074304.html]

[3]当你说不行时，你应该说些什么：以Android播放midi为例
[https://blog.csdn.net/younggift/article/details/6922905]

[4]郭绍仲.轴测投影变换矩阵的研究[J].工程图学学报,1989,(2):17-24.

[5 ]计算机图形学 学习笔记（八）：三维图形变换：三维几何变换，投影变换（平行/ 透视 投影）
[https://blog.csdn.net/jurbo/article/details/75041230]

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