本文介绍把单个pdf文件按页分割为若干个的方法。

按页分割以后的每个pdf文件含有1页内容。选择这些pdf中的部分，按 多个pdf文件拼接或合并为单一文件 https://zhuanlan.zhihu.com/p/655675268 的方法，就可以实现从某个pdf文件中选择任意页面重新组合为新的pdf。

方法1 ImageMagick

ImageMagick https://imagemagick.org/ 有个工具convert，适合做各种格式转换，也可以用于切割PDF文件。

用法示例如下，命令行：

c:\tools\ImageMagick\convert -density 300 input.pdf[1] x-%0d.pdf

或

c:\tools\ImageMagick\convert -density 300 input.pdf[1-3] x-%0d.pdf

或

c:\tools\ImageMagick\convert -density 300 input.pdf[0] x-%0d.jpg

其中

（1）c:\tools\ImageMagick\convert 是可执行程序及所在路径；

（2）-density 300 是分辨率，单位DPI 像素每英寸；

（3）input.pdf 是待分割的输入文件；

（4）input.pdf 后面的[1]或[1-3] 方括号中是提取的页码或页码范围，从0开始计数；

（5）x-%0d.jpg 是输出的一系列文件的命名规则，x- 1位数字 .jpg。

下述指令

c:\tools\ImageMagick\convert -density 300 input.pdf[1-3] x-%0d.pdf

会提取 input.pdf 的第1、2、3页，生成如下新文件。

x-1.pdf
x-2.pdf
x-3.pdf

方法2 GhostScript

另一个方法速度更快，生成文件更小，文字可选。使用工具是 GhostScript，简称gs，在https://www.ghostscript.com/ 下载。

用法示例如下，命令行：

"C:\Program Files\gs\gs9.55.0\bin\gswin64c.exe" -sDEVICE=pdfwrite -dSAFER -o output.%00d.pdf input.pdf

或

"C:\Program Files\gs\gs9.55.0\bin\gswin64c.exe" -dNOPAUSE -dQUIET -dBATCH -sOutputFile=output%00d.pdf -dFirstPage=1 -dLastPage=3 -sDEVICE=pdfwrite input.pdf

或

"C:\Program Files\gs\gs9.55.0\bin\gswin64c.exe" -dNOPAUSE -dQUIET -dBATCH -sOutputFile=output%00d.pdf -sPageList=1,2,4-7 -sDEVICE=pdfwrite input.pdf

其中

（1）命令 “C:\Program Files\gs\gs9.55.0\bin\gswin64c.exe” 是在我机器上可执行程序的路径和文件名；

（2）输出格式等 -sDEVICE=pdfwrite -dSAFER 和 -dNOPAUSE -dQUIET -dBATCH 等，原样照抄，我们不讨论这些细节；

（3）输出文件 -o output.%00d.pdf 或 -sOutputFile=output%00d.pdf输出文件的一系列文件命名规律，这里是 output. 至多2位数字.pdf；

（4）提取页面范围 -dFirstPage=1 -dLastPage=3 或 -sPageList=1,2,4-7，分别指定起始页第1页（从第1页开始计数）、最后一页（第3页），或者 1,2,4-7 表示 第1页、第2页、第4页~第7页；

（5）输入文件 input.pdf。

附，合并多个PDF文件的方法在这里 https://zhuanlan.zhihu.com/p/655675268。

 

多个pdf文件拼接或合并为单一文件，偶尔会有这样的需求。

有时候是收到一大堆pdf，要打印。一个个打开，再一个个打印，需要坐那儿半天看着和操作，不够优雅。有时候是有一大堆pdf，要结集再发送给别人。

方法1 ImageMagick

ImageMagick https://imagemagick.org/ 有个工具convert，适合做各种格式转换，也可以用于拼接PDF文件。

用法如下，命令行：

c:\tools\ImageMagick\convert.exe -density 300 1.pdf 2.pdf 3.pdf 4.pdf output.pdf

其中

（1）c:\tools\ImageMagick\convert.exe 是在我机器上的路径和可执行程序；

（2）-density 300 是打印的分辨率，每英寸300像素；

（3）1.pdf 2.pdf 3.pdf 4.pdf 是输入的待合并的多个 pdf 文件；

（4）output.pdf，最后一个参数，是输出的单一文件，合并的结果。

这个方法的缺点不少。速度慢，需要几分钟。生成的文件大，比待合并的多个文件尺寸之和大不少，几倍几十倍都有可能。 即使输入文件中的文字可以选择，输出的文件中的文字也不能选择，像纯图片生成的。这也是尺寸变大和速度慢的原因吧。

这一方法的更多细节可以看这里 https://blog.csdn.net/u013919171/article/details/113520520。

方法2 GhostScript

另一个方法速度更快，生成文件更小，文字可选。使用工具是 GhostScript，简称gs，在https://www.ghostscript.com/ 下载。

用法如下，命令行：

"C:\Program Files\gs\gs9.55.0\bin\gswin64c.exe" -dBATCH -dNOPAUSE -q -sDEVICE=pdfwrite -sOutputFile=output.pdf 1.pdf 2.pdf 3.pdf 4.pdf

其中

（1）”C:\Program Files\gs\gs9.55.0\bin\gswin64c.exe” 在我机器上的路径和可执行程序；

（2）-dBATCH -dNOPAUSE -q -sDEVICE=pdfwrite 原样照抄，我没有细看；

（3）-sOutputFile=output.pdf 是输出的单一文件，合并的结果；

（4）后面的所有参数1.pdf 2.pdf 3.pdf 4.pdf是输入的待合并的多个 pdf 文件。

更多细节参见这里

https://superuser.com/questions/54041/how-to-merge-pdfs-using-imagemagick-resolution-problem。

补充

如果要打印的是多个word，又或者这些word需要A3纸，而我没有这么大的纸。在这种情况下，我把这些word分别打印到pdf文件。此时不需要缩放，只需要注意不超出边界。打印得到的多个pdf文件拼接/合并为一个pdf文件，打印这个单一pdf文件到打印机时缩放到A4纸。

 

3. 傅里叶级数

上一节，我们验证了 不同周期的正弦函数之间、不同周期的余弦函数之间、正弦函数和余弦函数之间都是正交的，因此可以在傅里叶级数展开时作为 基底。不同幅度的这些函数相加，就可以收敛于某个周期函数。哪个周期的正弦函数、哪个周期的余弦函数 所对应的幅度，也即乘以这些函数的系数，是我们要求取的傅里叶系数。

公式大概长得像下图这样。

其中a0是常数项，也可以视为cos(0)，（根据不同定义）可能乘以一个系数；

与余弦对应的系数是 a_i ;

与正弦对应的系数是 b_i ;

3.1 傅里叶级数，展开，验证

书中的例子，需要展开为傅里叶级数的函数周期为T=1。

（1）原理，以及准备各个函数对应的数据

根据T=1

以及 角速度ω=2π/T

ω=2π/T=2π

以上备用。

我们可以跳过 傅里叶系数是待展开函数在各个基底上的映射 这一原理，查到公式如下。

上式中，n与i同义，指不同角速度/周期的正弦或余弦所对应的一个系数。我们能够注意到 a_n与余弦cos对应，b_n与正弦sin对应，其余形式完全相同。

上式中的方框，在cos和sin之后的那两个方框，内容是 n*ω*t。

把上面备用的

ω=2π

T=1

代入到上面两个式子中，以b_n为例得到下式。

a_n的形式非常类似，仅把sin改为cos。

得到上述公式，距离在Excel中实施只差一步。

这个定积分形式与上一篇中我们所见到的 黎曼和 形式求不同周期的、正弦函数、余弦函数间的相关性的公式非常相似。相似到不过是换了函数而已。验证基底相关性为0时，我们所用的两个函数分别是sin,cos之类的，现在用的是 f(x)和sin。再乘以一个系数，这里是2。

我们回到上一篇中的下面这组数据，对它做傅里叶展开。

这样，我们得到待展开的函数对应的数据。

在上一篇中，我们已经求出 角度、弧度、sin(t)、cos(t)。

按同样的方法，保留角度、弧度，我们求出 sin(2π*n*x)和cos(2π*n*x)，其中n取1，2，3，4，5。

如下图所示，是当n=3时，以弧度作为x，绿框所在的这一列是sin(2π*n*x)。

这样，我们得到共10列不同周期的正弦和余弦函数对应的数据。

常数项，即 a₀，书中的作法是 常数项也是个函数，其数据为值为 y=SQRT(2)/2 ，即0.707左右，的直线。与其他教材上 a₀的定义不同，结果是等价的。

这样，我们有了常数项的函数所对应的数据。

现在，我们有了

待展开的函数 所对应的数据 （波）；
10列不同周期的正弦和余弦函数 所对应的数据；
常数项的函数 所对应的数据。

以上，在Excel中共12列。

（2）傅里叶系数

我在Excel中隐藏无关的行和列，仅展示 b₃这一系数的求取过程。

第一步，求得每一行，即黎曼和中的每个横坐标变化所对应的y。如下图所示。

其中G6是此前做好备用的 sin(2π*3*x)的第6个数据，
N6是待展开函数 的第6个数据，

这一行的结果暂存在b3列的S6单元格。

乘以1/1000，是因为我把整个一周期内的波形等分为1000份，因此每一行对黎曼和的贡献是1/1000。

如果忘了黎曼和，可以回顾下图，在上一篇中出现过。当时用于求内积，这里用于求傅里叶系数。

把b3所有行累加，再根据下图中的公式乘以2。

得到b3这个系数的值，如下。

值为0.424400615。

用同样的方法求出11个系数。

（3）验证

我们只使用当n=1时sin(2π*x)和cos(2π*x)这两个三角函数，因此傅里叶只涉到 a1,b1，以及常数项。这样得到的结果，在下图中表示为 “傅里叶 I”这一列。

“傅里叶 I”这一列的第一行，那个公式的含义从左向右为

蓝色 b1参数* 红色C3 正弦函数 +
紫色a1参数*D3余弦函数+
粉色a0*M3常数项函数。

验证一下对不对。如下图所示，蓝色是待展开的函数，橙色是“傅里叶 I”展开。

看起来好像对，又好像不太对。两个函数看起来有点像，但是区别又很大。

我们把更精细的傅里叶级数也加进来，得到下图。

其中绿色的，是n=1至n=5 傅里叶 V 级数展开的结果，有点像了。而且与刚刚的傅里叶 I级相比，肉眼可见像得多了。

但是我们可能会注意到一个问题，从I级到V级，一共应该有5条曲线，为什么这里只画了3条呢。有帖子提到方波（可以扩大范围至奇函数）的所有sin参数（和cos中的偶数周期倍数）非常小，小到接近0。所以，在这个例子中，每两级傅里叶级数波形极其相似，I被II覆盖，III被IV覆盖了。

不仅理论如此，在实践的数据中我们也可以看到，除了b1,b3,b5这三组，其余的都贡献微小。

肉眼看到的结果不足够有说服力，我们可以再求 均方差。方差越大，展开得到的波形与原函数就越不相似。

先求出每一行的差。我隐藏无关的行，在Excel中看起来如下图所示。

然后得到 差的平方。

最后对 差的平方 求均值，得到均方差。

对I,III,V三个级别的傅里叶展开求均方差。如下图所示，我们能够看到均方差越来越小。这表明，傅里叶级数越高，得么的曲线与原函数越接近。与我们肉眼的感觉是相同的。

（4）换周期，换采样间隔，换原函数

调程序的一大乐事，是在程序写完以后，修改代码，测试不同效果，或者反复程序，居然还不崩溃。在Excel里手搓傅里叶级数也一样，折腾各种变化很有意思。

书里的周期是1，我们换一个。

根据周期T=1求得ω，并把T和ω代入公式，得到下式。

制备出各个周期的正弦函数和余弦函数，备用。

制备出各个傅里叶系数，备用。

每一行。

上图中，每行的贡献为 1/1000*T = 1/1000*2π.

求黎曼和。

验证一下。

周期不同，看不出来什么区别，不够炫酷。

换采样间隔吧。1000份真是很多，翻页需要好久，如果在Excel中不隐藏数据行的话。改为20等份。

以下，周期使用 2 pi，未展开说明。

穷举弧度时，要说明等分为20而不是1000。

求傅里叶系数时，每行贡献1/20而不是1/1000。

其余不变。绘图验证，只有20个点，瘦骨嶙峋，果然看起来漂亮很多。

换个原函数。修改“波”这一列数据，改变原函数。瞬间Excel就给出新的傅里叶展开。

再换个原函数。

再换。

这个过程非常过瘾。改一下波形数据，对应的傅里叶级数就同时跟着变化。夫子步亦步，夫子趋变趋。

4. 待续

还可以有些展开，也非常有趣。不过，那些已经不应该在 用excel手搓傅里叶级数 这个故事中了。我们在以后的故事里再继续。

（1）傅里叶变换，模和幅角

又

谐波的强度为 sqrtp(a^2+b^2)
幅角为 cos (arctan (-b/a))

因此，可以把每对 cos 和 sin 转换为 只用cos。

这样就把原函数变换到了频域上，完成了傅里叶变换。

仍然可以用Excel求出（不是无穷级数的）结果，与其他工具计算的结果对比。

（2）用Geogebra绘制动图，圆周与傅里叶级数展开，本轮和均轮

我们可以使用Geogebra绘制出 红色大圆之上的绿色中圆之上的蓝色小圆上某个点的轨迹。红、绿、蓝三个圆的周期和半径不同，对应了不同的傅里叶级数。

改变横坐标，可以看到红、绿、蓝三个圆转动导致纵坐标描绘出方波。在红圆的圆心，我们可以看到蓝紫色的“行星”轨迹，像火星一样忽快忽慢，有时倒退。

怎么把这个效果做出来呢？

（3）快速傅里叶变换FFT

因为FFT求系数数的时间复杂度更低一些，所以有可能在Excel中手搓出相当多的级数而工作量可以容忍。

不过，如上所说，用Excel手搓傅里叶级数这一场的大幕落下，那些都应该在另一些故事中再继续。

1. 方程 vs. 数据，解析式 vs. 数值计算

遇到过不止一位同学讨论的时候提到：如果要对这些数据处理—比如求导—是不是需要先求出这些数据的公式来，用拟合？

不。

函数，是从一组量到另一组量的映射。这并不意味着映射需要由公式来表达。典型的，在数字电路中，我们只需要直值表就可以完成映射，逻辑表达式并非必须。同样，只要有了数据，有了横坐标和纵坐标的对应，并不一定需要方程就能表达一种量和另一种量的映射或约束关系。如果不求解析解的话，数值计算并不需要解析式。

比如下面这组数据。

我们并不需要总结它是锯齿波的变形，就可以做针对它的数值计算。事实上，它也并不是锯齿波的变形，而是我随手瞎写的。随便再改一下，就可以换成另一个波形，两种波形之间没什么共性。

一直琢磨如何向同学们解释这个问题能更直观一些，看到书里的实例感觉很适合。还是这本书《程序员数学》 https://book.douban.com/subject/35689348/，用 python 讲解的。

书里的例子是用 python 做已知波形/数据的傅里叶级数。我用Excel重现一遍，再略加扩展。

数据就是数据，不需要转为公式，就可以做各种计算。计算的本质，是对数据的加工，公式作为模型只要在头脑里或者纸上就可以了，代码里不见得能看得见。

以上两组数据中的任意一组，就是Excel中的一列，我们称为 波。

2. 验证函数正交

在做这个波形的傅里叶级数以前，我们首先验证一个结论：傅里叶级数中的各个三角函数是正交基。即使不验证个结论，靠公式推导，或者我们就简单相信（数学课上我常有的状态，我信了还不行么）了，后面的工作也并不影响。不过这个工作也可以由Excel完成，不必更吓人的工具，非常简单，所以不妨拿来熟悉一下Excel做傅里叶级数的路数。

傅里叶级数中的各个三角函数是正交基，这个论断中有两点需要展开。

(1) 各个三角函数是哪些三角函数。包括 正弦 和 余弦。更具体地说，包括某个频率（一般写作ω，即omiga，角速度）的正弦和余弦，以及这个频率倍数的正弦和余弦。

比如sin(1 t),cos(1 t),sin(2t),cos(2t), sin(3t),cos(3t)……

或者sin(2πωt),cos(2πωt), sin(4πωt),cos(4πωt), sin(6πωt),cos(6πωt) ……

这些三角函数的参数怎么确定，我们后面再细说。

(2)什么是正交。正交是指两个基相乘的结果是0，具体什么意思我们不展开。

例如sin(t)和cos(t)相乘的结果如果是0，那么我们说sin(t)和cos(t)是正交的。

有的同学会说，sin(t)和cos(t)相乘，这不还是公式么，并不是仅使用数值判定啊？

任何两个函数，如果它们相乘的结果是0，我们说这两个函数是正交的。两个函数，如果没有公式，如何相乘呢。

（粗糙的）原理是 通过两个函数的内积，像下图这样。

这还是公式，因为里面有 f(x)g(x)这样的表达式。在离散的情况下，它可以等价于下面的（黎曼和）形式。

其中 f(x_i) 不是函数表达式，而是执行以下步骤：
对于f这个函数，在一个周期范围内；
查找第i个x；
查表第i个x所对应的y；

这个y就是 f(xi)。

在上一节的表格中，我们增补x的序号，作为最左边的一列。在下图中，列x中的10是i的取值（x的值不重要，或者等于i），波这列的11是f(x_i)即f(x₁₁)的值。

类似地，g(x_i)也是作数据表示函数。

这里的a和b是我们用于计算的数据的下标的上界和下界，假设为一个周期。N，是把a到b等分为N份。

所以这个等式的意思是

函数f的每一行 * 函数g的每一行 * 1/N；

把上面这句的所有结果相加。

我们 sin(t)*cos(t) 为例，操作步骤如下。

（1）角度

建立一列，标题为角度。A2即第一个单元格，手写1。A3用公式 =A2+1。复制这个公式，至第361行，这样得到角度1~360。

隐藏其中大多数行，为了以后操作方便，不然每次增加或修改数据需要连续翻页几次。

得到以下效果。增加列或修改数据的时候，跨越“隐藏”的7~360行粘贴公式，数据更新也会作用于隐藏的部分。

（2）弧度

新建一列，名为弧度。B2值为 =A2/360*2*PI()。复制这个单元格到整列，如下图所示。我们可以看到，最大弧度6.28，大约 2π.

（3）sin(t)

新建一列，名为sin。C2值为=SIN(B2)，复制至整列。

取消隐藏的话，可以画出C列数据，或者画A-C的XY散点图。旁证我们的数据是正确的。

不取消隐藏的话，按下图操作，就可以 在隐藏部分数据的情况下绘出完整的图表了。

（4）cos(t)

用类似sin的方法得到cos列。

（5）内积 <sin(t), cos(t)>

函数正交与否的判定，等价于内积。内积为0的两个函数，相互垂直。

求内积，应用黎曼和公式。

求和即内积即正交与否，结果为3.81699E-17，即0.00000000000000003817，
非常接近于0。旁证了 sin(t) 和 cos(t)正交。

我们虽然用到了黎曼和公式，但是在数值计算的过程中并没有用 解析表示的函数，而是把数据本身作为自变量和函数值，把映射视为函数。

（6）sin(t)和sin(2t),sin(t)和cos(2t)，cos(t)和cos(2t)……的内积

所有不同的函数，无论正弦与余弦之不同，还是角频率不同，我们都视为不同的函数。这些不同的函数两两相乘，结果都应为0。

以上组合相当之多，我们挑几个验证。

我们先创建 sin(2t)和cos(2t)，像下面这样。只有每列一个单元格是手写的，其余全来自复制。事实上，连B2我也不是手写的，而是在写Excel公式的时候用鼠标点击的。

按sin(t)*cos(t)的方法，得到黎曼和——sin(t)*sin(2t)，如下图所示。

结果为-4.22588E-16，非常接近0。

是不是全接近0啊，并不。

（7）sin(t)和sin(t)的内积，以及内积为1

我们选相同的函数，做内积。

结果不是0，是……像是π.

这个结果对不对呢，我们可以用其他数学工具交叉验证一下。

Wolfram|Alpha 说：

上图中的积分范围是 -π,+ π,Excel中的积分范围是0,2π即0，360度。都是sin(x) 的一个周期，所以是等价的。

既然Wolfram|Apha有图，我们也可以在Excel中画一个，再交叉检验。如下图所示，是相同的。

用 Geogebra交叉检验一下，如下图所示，结果也是相同的。

如果你也读《程序员数学》，会发现书中的同一函数s(x) 和s(x)内积的积分结果是1，解释理由是 基底的长度为1。这个结果与我们的不同。为什么呢？

因为s(x)并非sin(x)，而是sin(2πx)，周期2π，ω为1。我们在 geogebra中从-1到1积分，所得结果与《程序员数学》书中函数sin(2πx)的内积相同。

在Excel中积分-1,1的一半附近，即 0,1 ，如下图所示。

所得结果为0.5。

0,1为-1,1的一半，因此可以推断得到 -1,1积分的结果应为 1。与《程序员数学》书中一致。

（8）小结

以上，我们使用到了 函数正交、内积（事实上还有相关性）、定积分、黎曼和 这些概念，我们使用了一些公式。

但是！在求内积（其他都是原理，对计算过程没有影响）的过程中，我们并不需要任何公式。包括sin和cos这些三角函数，在计算它们的内积时，我们只需要数据。虽然三角函数的数据由函数公式生成，但是在内积计算时，我们无视函数公式是什么，而只需要数据就可以了。即使那些求内积的函数不是三角函数，甚至没有解析式，对计算过程也没有影响——回归到函数的定义，数（的集合）到数（的集合）的映射。

用内积佐证傅里叶的基底，那些三角函数，它们之间是正交的。它们正交这一点，并不是对某个函数/信号傅里叶分析的必要步骤，因为早就已经由前人证明过了。用解析法证明，一般会被视为更优雅吧。讨论内积的原因是，这种做法正是后面用Excel手搓傅里叶级数的手法。所以，此处也算作预备。

2.5 李萨如图形

所谓 既然气氛渲染到这种程度，数据都有了，不画个莉萨如/李萨如图形，说不过去啊。

李萨如图形，是测量两个信号周期比例的方法。不同周期、不同相位的周期函数，一个画横坐标，一个画纵坐标，可以得到非常漂亮且容易识别的图形。在双踪示波器上接两路信号，可以通过画李萨如图形求这两路信号的周期比例。如果其中一路信号是我们生成的，因此周期已知（多么熟悉的路线），另一路信号的周期可以通过李萨如图形求出。

如下图所示，用刚刚Excel中的数据画出的李萨如图形。用XY散点图。

以下是随手做的其他几个例子，好看吧。

（待续）

 

据说在苹果系列的手机、平板、计算机之间，你可以正使用其中任何一台设备，此时切换到另一台设备，可以方便地自动打开刚才正看的网页。Firefox账号据说也有类似功能，可以在方便PC机和手机之间切换。

跨设备种类的切换，我极少有这一类需求，但是在PC之间切换常有。在一台计算机上看页面，因为链路速度不行，可能要切到远程的服务器。这种时候，通常我已经打开了一堆页面，希望在远程的服务器上把这些页面全都打开。

在一台机器上保存多个URL地址，在另一台机器上打开。手动操作的话，可以用记事本作为中介。

一个个页面的TAB遍历：
  每一个都 alt-d 到地址栏；
  ctrl-c复制；
  ctrl-v粘到记事本；
  下一个TAB。
把记事本中的文本传到另一台计算机
想办法用微信或邮件或远程桌面复制粘贴之类
换机器
对记事本中的每一行URL：
  复制；
  在浏览器中 ctrl-t 开新tab；
  键盘焦点此时正在地址栏，操作 粘贴，回车；
  记事本中的下一行URL。

不仅繁琐，我经常担心漏一两个。而且漏掉的都是重要的，就像迷途的羔羊都格外金贵。

我用两个firefox 插件合完成上述操作，
Export Tabs URLs 和
Open Multiple URLs。

其中一个插件叫做 Export Tabs URLs，地址在 https://github.com/alct/export-tabs-urls。这个工具用于导出url。

比如我正在看以下三个页面。

此时我准备换机器了，先导出URL。

得到所有正打开Tab的URL，我一般点击 Copy to clipboard。

然后我换机器/远程桌面。

在新机器上运行另一个插件，Open Multiple URLs。下载地址在https://github.com/htrinter/Open-Multiple-URLs 。

粘贴剪贴板里的文本，点击 Open URLs按钮。

在这个案例中，浏览器会尝试打开6个URL，如果不删除每个URL上一行文字的话。我可以容忍，至少不会丢什么。如果洁癖发作追求完美，那就删除URL以外的文字吧。

如果感觉容忍和手动删除都不够优雅的话，在Export Tabs URLs导出时，勾选掉 “include titles”复制框；或者在Open Multiple URLs按Extract URLs from text按钮。

这是系列帖子的下半部分，此前还有一篇。这两篇共同的主题是 改变向量的基——使用 geogebra 演示。

帖子的缘起是我最近读了一本书，书名《程序员数学》，作者 Paul Orland，https://book.douban.com/subject/35689348/，下面图示中的这本。微信读书APP可以免费阅读，排版尚可。

书里涉及到线性代数、高等数学、数值计算、神经网络等的初步，都用python代码实例介绍的，直观，能帮助理解理论知识，适合作为计算机导论的补充素材。自己参考做实验也挺好玩的，比如线性代数中关于直线相关和向量换基底的这部分，我用 geogebra 重新实现了一遍。

3. 改变向量的基底

已知两个条件。其中一个条件是，有个向量，比如从原点到坐标（4，2）的点；另一个条件是，如果换一个基底，这个向量在新的坐标系下会是从原点到哪个点呢？或者说，这个点（4，2）在新的坐标系下的坐标是什么。

书中给的例子是下面这个。

条件一，如果向量在当前坐标系下为 (4,2)。

条件二，新的坐标系是这样的，由两个向量张起，其中第一个向量u1在旧坐标系下为从原点到(1,1)的向量，另一个向量u2为从原点到(-1,-1)的向量。

在u1,u2构成的这个新坐标系下，旧坐标系下的(4,2)的坐标是什么。

3.1 书里的写法，矩阵与基底的关系

书里的写法是这样的，左边的矩阵第1列是u1,第2列是u2。其中的u1和u2分别是新坐系的两个基底。等式的左边是这个矩阵乘以{{c},{d}}这个向量（或者矩阵）。等式的右边是旧坐标系下的向量{{4},{2}}。

可以通过解方程得到c和d的值。在CAS view中操作。

解方程，指定c和d是变量。

得到c=3,d=01。

所以，旧坐标系中的（4，2）在新坐标系中的坐标为(3,-1)。

在图上验证一下。我们指定第一个向量u1的3倍，以及第二个向量u2的-1倍。

看看新坐标(3,-1)与新坐标的两个基底间的关系。

看起来对的，v在新的红色坐标系下，坐标分别对应u11和u22在u1和u2上的投影。

根据《程序员数学》中的例子，总结求 新坐标系下的坐标值的方法，就是解下面的方程，求出c和d的值。

不过这个有问题，看起来 改变基底 就像 线性变换。与上一篇中的 直线相交、解方程 的方法确实非常相似，事实上我刚刚就用了 geogebra 中的 solve 这条指令。不过结果等价，并不意味着原理相同。有不少帖子都指出，改变基底是 换个观察角度，而 线性变换 是在当前空间中操作东西。在《程序员数学》中，对这一区别似乎不太关心。

如果用geogebra画图就会发现，似乎看不出来解这个方程与基底变换之间有什么几何意义上的联系。

如果并非解方程、直线相关的话，那么原理是什么呢？

3.2 支线 线性无关-垂直-正交标准基

在讨论原理之前，先简短地补充一条小的支线。书中给出的例子中，u1和u2两个新基底是相互垂直的，点积为0。

在几何意义上也可以看出二者垂直，根据坐标可以确认。

不仅垂直，这两个基底的长度也相同。根据勾股定理我们能求出，长度/模 在旧坐标系中，都是 ，我们可以把这个长度定义为1。

这可能会误导我们以为所有的基底都必须相互垂直、长度为1。这是对 标准正交基 的要求，高于对基底的要求。基底可以不相互垂直，长度也不必为1。只要不能由基中一个基底线性推导出另一个基底，就行了。

也许我读书不细，作者可能提到了，我跳读没注意。聊此备忘，免生误解。

3.3 矩阵的逆，与改变向量的基底的关系

回到正题，书里这个求解新坐标系下的坐标的方法是什么意思呢，什么原理？

之所以看起来有点奇怪，是因为这个写法不完整。有点像数学书里经常遇到的“显然”，跳了几步一定正确的过程，读者容易跟不上思路。

是个向量，它不够完整。我们补充一点东西。

对角线上全是1的对角阵，这个单位阵，是旧坐标系的基底。因为过于熟悉，我们几乎注意不到它的存在。我们看一下它的含义。

所以， 完整的写法是 。

这种写法我们见过，就在下面这个等式的左边。

所以，等式的完整写法是下面这样。

等式左右两侧都是——基底构成的矩阵 左乘 向量，左乘的结果是向量。

求解c和d，即在新坐标系下的向量的过程，相当于等式左右两边分别左乘 新基底构成的矩阵的逆。得到下面的图示。

等式左侧 {{1,-1},{1,1}}^-1 * {{1,-1},{1,1}} * {{c},{d}} => {{c},{d}}

其中，左侧的两个矩阵为 ，结果为单位阵。

等式右侧 {{1,-1},{1,1}}^-1 * {{1,0},{0,1}} * {{4},{2}}，即

结果为 。

手动/分步计算等式右侧的话，在geogebra中并无必要，为展示计算过程的原理，我们展开一下。

先是

结果为 ，

然后 结果为 。

与此前解方程的结果相同。必然相同，回顾上一篇中 两直线相交、解方程、矩阵解法，是方法上是等价的。

3.4 换个例子，验证

原坐标系中的点 (5.66,1.46)，这是随便点出来的。

新坐标系，第1个基底 (3,4)。为了模长为5而选，原本以为会方便计算，不此必要。第2个基底，是第1个基底顺时钟旋转了90度，得到(4,-3)。

保证正交、长度为1，构成标准正交基。

根据上文中的方法，

求得新坐标系下的坐标为 (0.91,0.73)。

方法一，解方程

或

或方法二，左乘新坐标基底构成的矩阵的逆。

。

验证一下，向量的第1个分量和向量的第2个分量，分别除以基向量，4.56/5和3.65/5，结果正是 (0.91,0.73)。

看上图中，在旧坐标系中的(0.91,0.73)的位置相对于旧基底，可以看出与新坐标系下向量相对于新坐标系基底的关系，这两个关系是相同的。

这是系列帖子的上，后面还有一篇。这两篇共同的主题是 改变向量的基——使用 geogebra 演示。

1. 荐书

最近读了一本书，感觉非常不错。书名《程序员数学》，作者 Paul Orland，https://book.douban.com/subject/35689348/，下面图示中的这本书。微信读书APP可以免费阅读，排版尚可。

书里涉及到线性代数、高等数学、数值计算、神经网络等的初步，都用python代码实例介绍的，直观，能帮助理解理论知识，适合作为计算机导论的补充素材。自己参考做实验也挺好玩的，比如线性代数中关于直线相关和向量换基底的这部分，我用 geogebra 重新实现了一遍。

2．直线相交

在二维平面上，有两条直线，分别已知方程，求交点的坐标。

问题简单朴素，正可以用来熟悉一下如何在geogebra之中把 方程、几何意义、矩阵 对应起来。

下图中的两条直线、两个方程、矩阵，就是《程序员数学》中的实例。我们也用它讨论。

2.1 几何意义，与方程的关系

其中一条直线的方程如下。

输出方程的同时，在geogebra（的standard view）中就显示出了对应的直线。甚至在输入的过程中也对中间结果给出了图形，不过与论题无关，所以省略。

根据上图，我们能看出，斜率刚好是1；在直线上任意一点，x和y总是相等的。

另一条曲线的方程如下。为了与第一条曲线相区别，我手动改成了红色。

两条直线都显示出来了。可以把x和y分别赋值为0，求出对应的y和x，验证图中的红色直线是正确的。

手动标出交点，如下图所示。

即 指行执行，如下图，求eq1和eq2这两个 方程/直线 的交点。

在平面直交坐标系上，可以看到这个点。

以上，是两条直线相交的几何意见，以及与方程的关系。

解两个联立的二元方程，与几何意见对应，即求两条直线相交的交点。在geogebra中的方法，其中一种就是如上所述，画出两条直线，把直线的交点标出来。除此以外，以下方法也有效。

2.2 解方程

用指令Solve，参数是两个方程外面括上花括号组成的 list。

由上图得到精确解，分数表示。鼠标单击 约等号，得到下图，数值解，用小数表示，与此前的两直线交点所得结果相同。如下图所示。

2.3 矩阵形式

《程序员数学》书中给出的是矩阵形式，类似下图所示。

上图中的最后一行，geogebra给出了矩阵对应的方程形式。

方程左半边，即 x-y 、x+2y 与
矩阵形式的左半边，即乘法部分m1m2 的对应关系如下。

2.4 用矩阵解方程（1）

根据刚刚m1,m2,m3的定义，在等式左右两端 分别 左乘 m1的逆。

或者含义相同，geogebra中特有的写法。

然后，
等式左边，m1的逆与m1得到单位阵，向量{{x},{y}}不变；
等式右边，m1的逆与向量{{0},{8}}相乘得到向量 {{8/3},{8/3}}

严格地说，得到的并不是x和y的根，而是向量。

这里还有一些扣儿，与主题关系不大，我也不甚了了。姑且跳过，左乘一个矩阵的逆，这个方法在下一次的讨论中要用到，这里作为序曲。

2.5 用矩阵解方程（2）

标准的解法如下。

在前文中，为了回答 太阳的方位角变化是否匀速，特别是 在日出和日中时相同时间内的方位角变化是否相同，我们根据天文观测数据，又通过立体几何（？）从原理的角度分析，得出结论 太阳的方位角变化不是匀速的。不是匀速的，这个结论可以更精细一些，方位角（以及高度角）的变化符合什么规律呢？

太阳的方位角变化，涉及天文学里的球面坐标系转换等知识。假设，我们已经理解了这些知识，因此得到了一些公式。这些公式在网上不少，一般地都是对的，并且彼此可以验证。所以，我随便找了一下。

1. 高度角，使用excel描述

之所以需要高度角的原因，一方面，既然方位角变化不是匀速的，对于高度角的变化，我们也很好奇；另一方面，方位角的公式里有高度角，先求出高度角再求方位角更容易一些。

参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/641045406

高位角的公式如下

sin hs =sinφ·sinδ+cosφcosδ·cosΩ

其中

(1)hs 是高度角，待求的值。

(2)φ 为地理纬度，我们保持与前文一致，北纬42度。

(3)δ-赤纬，可以通过公式求得

在这里，我偷懒了，按与前文一致的时间 2016年1月1日，

在这里查表 http://www.jisuanqiol.com/baike/jk/3575.html

得到-22.99度。

(4)Ω-时角,deg (时刻-12)小时*15度/小时。时刻是唯一的变量。

在excel中，时角的公式为

=(E17-12)*15

其中E17是时刻的单元格。

明确了以上几个量以后，我们就可以根据时刻这个唯一变量，求得 指定日期2016年1月1日，北纬42度 太阳的高度角变化。不需要经度的原因，是因为我们使用当地时间。

在excel中，高度角的公式为

=ASIN( SIN(42/180*3.14)*SIN(-22.9/180*3.14)+COS(42/180*3.14)*COS(-22.9/180*3.14)*COS(F17/180*3.14))/3.14*180

其中F17是时角的单元格。

从7：30日出时起，至16：30日落时止，每隔1小时计算一次，我们得到以下表格。

其中 时刻以小时为单位，例如7.5代表7：30分；

时角，是计算的中间过程；

高度角，为所求目标。

画图如下。

从图中我们可以看出，高度角从日出时0度，逐渐上升，在正午时25度左右。下午至日落，高度角逐渐降低。

细致观察我们也可以看出，高度角的变化不是匀速的，似乎日出时快，至日中时慢，与前文中的结论一致。

对高度角的变化，我们作进一步的定量分析，求每两次计算值之间（因为时间间隔一致，因此差分即斜率）。为了符合一般感觉，我们把对差值再取绝对值。这样，我们得到下述表格。

其中，diff为两次高度角之差，diff-abs为取绝对值的结果。绘图如下。

在上图中我们可以看出，高度角的变化/差分/斜率/导数，不仅早/晚和中午不同，而且还有更细致的变化规律。那可以由二次导求出。事实上，仅通过公式，我们也可以知道，其中有三角函数，变化一定不是线性的。

2. 方位角，使用excel描点

参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/526310019?utm_id=0

里面有个公式，我截图抄来如下。

可以得到以下方位角的公式。

cos 方位角 = (sin 赤纬 – sin 高度角 * sin 纬度 )/(cos 高度角 * cos 纬度)

有两点需要简单解读。

(1) 右式=cos 方位角，所以可以用对右侧式子取 acos，从而得到方位角；

(2) 要保持所角的都是角度制或者弧度制，并且符合所用工具excel的要求。

其中

赤纬查表	-22.99
高度角	已求
纬度	42

这样，唯一的变量是时刻。与上文中高度角一样，我们从日出到日落，每隔1小时求一次方位角。

2016年1月1日，北纬42度。

在excel中公式为

=ACOS((SIN(-22.99/180*3.14)-SIN(42/180*3.14)*SIN(B14/180*3.14))/(COS(42/180*3.14)*COS(B14/180*3.14)))/3.14*180

其中B14是时刻的单元格。

过12点以后，上述方位角公式失效，角度开始回转。所以我稍作改动

=180-ACOS((SIN(-22.99/180*3.14)-SIN(42/180*3.14)*SIN(B19/180*3.14))/(COS(42/180*3.14)*COS(B19/180*3.14)))/3.14*180+180

其中B19是时刻的单元格。

根据上述表格绘图，结果如下图所示。

我们可以注意到，早晨和中午的方位角变化，有5度左右的差异。日出和日落时方位角变化慢，接近中午，方位角变化快。正午前后，方位角变化慢了？

上述使用 excel，比前文中天文数据或立体几何中取几个点，看起来更具有一般性。并且，对于扩充到更多的数据，我们仍有潜力。

我们还可以做得更好，使用 geogebra画函数曲线

3． 高度角，使用 geogebra画函数曲线

根据公式，我们得到 f(x)，如下。

其中，lat是纬度，我们暂定42度； dec是赤纬，我们暂定-22.99度。

绘出函数图像如下。

求导，得到蓝色曲线如下。

比excel描点的方法，我们能得到更多更密集的数据。

不仅如此。我们可以容易地修改纬度和赤纬。

上图是 纬度为0、赤纬为0 的太阳高度角变化。早6点日出，晚6点日落。12小时白昼。作为对比，北纬42度的元旦，白昼只有9个小时。正午太阳高高角90度（90.01多出的部分，我猜测是计算误差）。

它的高度角变化，是均匀的。

很容易切换到北极圈以内，白夜，太阳永远不落到地平线以下。

4. 方位角，用geogebra画函数曲线

锁定纬度、赤纬，高度角由公式求出作为中间结果。

方位角公式如下。

叠加了高度角帮助判断日出和日落，绘出函数图像如下。

变化率，即求导的结果呢？下图中，绿色的曲线是对方位角曲线求导。

看来，正午12点左右，我修改过的公式有毛病，出现了间断点。其余的形状看起来都与excel描述的结果一致。哪位大侠知识正确的方位角公式，还请不吝赐教。

我们定位到北极圈接近北极点，赤纬接近0的那一天。

得到方位角持续不变。

这是超出了公式的有效范围，还是……方位角是南？如果方位角是南，那应该是180度吧。

后面的Geogebra函数曲线，我解释不了，超出我所了解的范围了。不过使用geogebra画曲线；改参数值，观察曲线立即变化，以及曲线导数的变化，很有意思。

5. 结论

在多数时间和地区，太阳的高度角和方位角的变化，不是匀速的。变化的速度持续改变，需要用公式或图像才能定量描述。

疑似，有些地区，有些时间，高度角或方位角的变化是匀速的。

(1)问题

这是在知乎上看到的问题。链接在此

一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？ – 知乎

https://www.zhihu.com/question/616149596

草率地想，当然啊，当然是匀速的。因为太阳在天空中划过角度的原因，来自地球的自转。在相当高的精度下测试，地球的自转都可以视为匀速。太阳初升到再初升，这是一个太阳日。同一星座，比如猎户，从初升到再初升，这是一个恒星日。二者略有不同，不过这个差异是恒定的，因此并不影响太阳划过天空时，单位时间的角度，也就是角速度，对角速度没有影响。

然而，对“当然”二字要格外小心。

我们忽略误差，假设太阳划过天空的角度是匀速的。然而误差真的可以忽略吗，即误差对肉眼无法察觉吗？

(2)误差存在

如果没有大气层的偏折，大阳划过天空的角度保持恒定，每小时 360/24=15度。

但是，由于大气偏折光线，导致肉眼所见太阳扫过的角度，在日出和日落前后比日中时要大。

参见 为何在日出前，日落后，我们仍能看到太阳？。链接在 https://k.sina.com.cn/article_1808449333_6bcabf3500100goid.html 。

里面有张示意图，转引如下。

在非日出或日落的时间段里，在太阳的高度角较大，即更垂直于地面时，偏折的角度更小一些。

在日出和日落时段附近，光线偏折导致肉眼所见的太阳扫过了更大的角度范围，所以高度角变化速度更快。

这个误差有多大呢，是否能被肉眼觉察？文中提到，在明显的地点在赤道，大气偏折导致我们在日出时提前大约2分钟看到太阳。2分钟，太阳划过的角度是 2/60*15=0.5度。肉眼所见太阳的视角刚好是0.5度。也就是说，偏差达到1个太阳的张角那么大的。借助不太精密的设备，再降低光强对眼睛充分保护，肉眼是可以看到的。所以，这一误差不能忽略。

(3)发现错误

答完以上，发现 美杨杨的张先生 （https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17）提到

>日出没时高度角变化快方位角变化慢，日中天时相反

我还没有细想他说得对不对，但是！我审题不认真啊。答非所问，结论完全错误。

原题问的是什么？“一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？”讨论的是哪个物理量？方位角。

方位角是什么，大阳在大地上的垂直向下投影、与我即观察者作为夹角的尖儿、以及正北之间的夹角。要投影啊。

我答的是什么？我答的一直是 太阳在天空中划过的角度。那是什么角度，那是如下图所示，太阳在黄色的平面上经过的角度。

题目问方位角是否匀速，我答了在太阳轨迹上的角度匀速。答非所问。

到这里，我们还不能知道，在太阳轨迹上太阳行过的角度匀速的假设下，是否能推得方位也是匀速的。但是，假设两个不同概念的值是一致的，这是不明智的，更何况这投影明显有角度存在，不是平行投影，两个值一致才怪。

(4)度量，实验检验

这时，简单地做法是 既然对事实有争议，那就测一下好了。支起天文望远镜，支起史前巨石柱，还有各种上古或现代的设备……等等，这样相当花时间和成本。已有的测量数量是可以用的啊。

随便找一个网站，能根据指定 时刻，给出 太阳高度角 和 太阳方位角的。比如https://www.osgeo.cn/app/s1904。

如下图所示。指定经度，纬度，随便选了日期（以上在红框中）。给定一个时刻（在绿框中，在整个实验中要改变多次），点击计算按钮，得到一组天阳高度角和太阳方位角（在下方的两个红框中），记下来。

这样，如下图所示，我设置了5个*5组时刻（在红框中），组间内隔1分钟。得到了对应的高度角和方位角（在绿框中）。这5组数据分别是日出、上午、中午、下午、日落时分。

求出高度角之差的绝对值。考虑到高度差的变化可能为正，日出和上午，也可能为负，下午和日落。而题目关心的变化率应该对正负不敏感，所以对差取了绝对值。

求出方位角的差。

高度角的差和方位角的差都列在表中，根据数据画图，得到以下 chart。

其中蓝色的，表示高度角的差的绝对值，橙色的，表示方位角的差。在上图中我们可以看出，高度角的变化速度，在日出和日落时较快，在日中时最慢；方位角变化，在日出和日落时变化较慢，在日中时最快。上午和下午，高度角和方位角的变化符合相同的规律，即介于日出或日落时的速度 与 日中的速度 之间。方位角速度最快和最慢之差达0.25度，高度角速度最快和最慢之差达到0.15度，分别达到太阳视张角的1/2和近1/3，不需要太精密的仪器是可以观察到的。

偏离一下主题。要想观测到这一事实，有个前提，导致在古代无法实施。我们可能想到，角度可以通过放大尺度，即圆的半径，比如把设备换成高大建筑或者山脉这种方法。这样角度可以测量得更精确。固定地点，以固定经度和纬度，这使得经度和纬度不需要精度。

然而，在这一事实的观测还有一个物理量，测量起来如此简单和精确，以至于我们甚至难以觉察到做过测量。但是没有这个物理量，或者精度稍低，整个测量就都不可能完成。

时间！我们上述数据中，精确到分钟。在古代，分钟，即每天的1/1440这种精度的时间，是不可信任的，至少不比太阳可信任。如果太阳是必须信任的，那么，就是信仰。质疑信仰，你就是坏人。后面不必讨论了。

回到正题。以上数据相当于实测。事实表明，日出、日落、日中的方位角变化，不是匀速的。事实顺便可以看出，不仅方位角，连高度角也不是匀速的。即使太阳在行经太阳轨迹时角速度恒定。

即使我们不知道为什么，不知道原理，甚至不知道每年365天中是不是只有我设置的那一天，甚至5千年里只有那一年的那一天才是这样——即使如此，事实仍然说明，在误差范围内，在可观测的精度下，太阳的方位角角速度不恒定。

(5)原理

原理就是倾斜平面的投影。具体原理是一顿三角函数，以及变化率。超出我的解释能力了，因此以下只给出一个例子。

假设地点为北纬42度附近，1月1日前后，所以太阳在日中时的高度角为25度左右。

如下图所示，我们用 geogebra 构造出符合天圆地方世界观的图。蓝色的天空，绿色的是大地。我们依据25度画出太阳轨迹的平面。金黄色的是太阳轨迹面，太阳在此经过。

我们在日初时分，即图的左侧，在太阳轨迹上划出10度。在日中时分，即图的右侧上方，在太阳轨迹上划出10度。这俩角度是相等的，只是因为拍照的角度，看起来日出时的10度的弧度要小一些，是相等的。

我们看日中时分，太阳在太阳轨迹前进10度。在这种情况下，高度角的变化和方位角的变化分别有多大。如下图所示，高度角变化-日中，太阳轨迹10度。

高度角的测量，是 中心点至太阳 和 中心点至太阳在大地上的投影 两条射线的夹角。

在图中可以看到，日中时，高度角（在图中这两个角是“竖立着”的方向）分别为24.73和25.15，
即高度角变化为25.15-24.73=0.42度。

方位角的测量，为太阳在大地上的投影，与 中心点/我/观察者 所形成的的连线这一射线 与 正北之间的夹角。所以方位角的变化，我们可以通过测量两次太阳的投影分别与中心点连线，这两条连线间的夹角。

如图下所示，我们可以看到，方位角的变化为11.09度。这个角度在大地上。

以相同的方法，我们测量日出或日落时的高度角变化、方位角变化。下图，日出时太阳轨迹上的10度。

如下图所示，在日出时，高度角由0度行至4.27度，所以高度角变化为4.27度。

如下图所示，日出时，方位角由变化为9.22度。

总结得到如下表格。

	日出	日中
方位角变化	9.22	11.09
高度角变化	4.27	0.42
太阳轨迹上的角度	10	10

太阳每小时在轨迹上转过15度，因此10度对应的时间为10/15小时即2/3小时，合40分钟。转换为平均1分钟的方位角和高度角变化。如下表。

	日出	日中
方位角变化	0.2305	0.27725
高度角变化	0.10675	0.0105

(6)结论

还记得我们根据实测数据画的 chart 么，就是下面这个。

我们只取日出和日中，求时段接近的每组4个差（或差的绝对值）的平均值。得到下面的表格。

	日出	日中
方位角变化	0.1675	0.255
高度角变化	0.1575	0.0025

对于（根据天文数据）实测和在Geogebra上测量结果略有差异，可能来自初值和我测量的误差。我在绘制 geogebra 时未能保证精确，有点移动了，人懒，没有重做。根据勾股定理复原一下场景，方位角9.22当为9.04左右，每分钟0.226度。仍大于天文数据实测得到的0.1675较多。

尽管存在差异，我们仍可以看出相符之处，数据表现出下述规律。

第一，日中时 高度角变化缓慢，日出时 高度角变化较快；

第二，日中时 方位角变化较快，日出时 方位角变化 缓慢。

此前讨论过大气偏折造成的影响，当时没有特意区分影响的是在太阳轨迹上的角度，高度角，还是方位角。在日出前后，这种影响主要在高度角上，对方位角影响不大。

所以回到 美杨杨的张先生 （https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17）提到的

>日出没时高度角变化快方位角变化慢，日中天时相反

美杨杨的张先生 的结论与上述实测和geogebra测量一致。

	日出	日中
方位角变化	慢	快
高度角变化	快	慢

回到问题上。

“一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？”

是的，一天中太阳方位角的变化速度不同。

（太阳方位角变化）不是日出和落时更快，相反，是日出和落时更慢。

 

2018年曾经写过一个系列，回顾自2008年起保持俯卧撑锻炼开始的历程，题目叫做锻炼十年。而今2023年，又五年过去了，有想增补的内容，仍放在这个系列中。虽然15年矣，为保持题目一致，还是叫做锻炼十年吧。反正，多出的五年，也没有多少进步。

这一篇谈伤痛。

（1）

即使持续锻炼，我所受的伤痛也算少的。

一个原因是我所做的大都不剧烈，特别是最近几年几乎完全排除了爆发力的训练以后。小学四年级开始，每次见眼科医生都会受到叮嘱，“不能做爆发性动作，不能受突然打击。”不然的话，可能导致视网膜剥脱。所以，我刻意避免了所有的对抗性运动，足球、篮球什么的。一般的情况下，可能只不过是积极对抗，或者稍微一不小心。对我来讲，可能后半辈子会非常不方便。视网膜剥脱是高度近视特有的危险。因于眼内压高，眼轴前后拉长，视网膜本来也处于岌岌可危的状态。一旦发生就失明了，虽然可以修复，但是非常麻烦。要脸朝下俯卧不动长达一个月（？）之久，一动就前功尽弃。在成年以后，经常遇到朋友同事对医生的交待不屑，“别什么都信大夫的，他们就吓唬人。”然而，每次都是相同的叮嘱，书上也是这样说的。而且，觉得无所谓的这些人里，没有一个可以替我承担。所以，可能受突然击打和需要爆发力的体育运动，我都避免参加。也因此受伤的机会少了很多。大学的时候，同学们踢足球打篮球，每次受伤的时候我都乐，“运动才会受伤，我不运动也从来不受伤。”

另一个原因是训练的理念。是哪本自重训练的书告诉我来着？拿不起来就别拿，抓不起来就别抓。不要使用爆发力，缓慢推拉。缓慢推拉对提高力量（也许还有增大维度）本身也是有帮助的，并且可以减少拉伤。

包括太极拳在内的动作要领，都包括先慢。对于锻炼而言后快不那么重要。通过缓慢的动作体会动作要点，哪块肌肉在什么时机发力，哪个关节在什么时候哪个受力。类似精读文章、做实验、练琴，亲身体会时没有办法滑过去。不借助重力，不借助惯性（冲量），纯靠自身肌肉，尽可能使用预期发力的肌肉。这些都要求慢，只有慢才能感觉清楚。练了几十天以后，经常发现，咦，这里还有个扣儿，又捋顺一个地方。

最重要的原因是，伤痛实在太费时间了。

一旦受伤，会有相当多的动作没法训练。拉伤的肌肉或关节本身不能发力，不能作为目标肌肉训练了。作为拮抗肌的训练也只能暂停。简直难以想像，人体居然是这么精密复杂的机械，内部耦合得如何密切，哪怕一个小地方受伤，几乎全体的训练都受到影响。更不用说像腰部这样的枢纽。暂停训练，会破坏计划，还会让原本正成长的部分搁置甚至衰退下去。小伤一周，稍微重一点的拉伤挫伤，一个月到三个月。年龄越大，需要的恢复时间越长。所以，宁走十步远，不走一步险。所以，活得长全靠胆小。只要不受伤，即使今天练不明白，明天也还能练。想起当年打游戏暴力摩托，屡败，几乎要放弃。二猫妈说，你别打那些NPC，冲过去。果然，只要不倒，就能轻松取胜。背单词，有时候想提高速度，也发现——不出错，是速度最快的方法。宁可降低速度，只要不出错，总的速度就最快。

爆发力，或者超出力量上限的重量，贸然尝试没做过的姿势。冲击数量或重量。这些都可能会受伤。身体疲劳，头脑不清楚，正在生病，这些也会加大受伤的可能。需要小心。

以下，是记录所受伤痛，包括训练带来的，也包括平时姿态不良的后果。还有自行作死的。

（2）脖子

不是运动的结果，我颈椎本来就不好。因为视力弱，所以看显示器的时候身体前倾，脖子再探。脖子在端肩的基础上，还向后折了一下。专注阅读和写东西的时候，其他的感觉都下降了，伤害逐渐积累到相当的程度才意识到。当年洗头时头疼，歪头也疼，颈椎按起来像有一包水，颈椎有一节的感觉按下来的手指上有刺。左右一歪头脖子里面喀卡响。

后来，我练瑜伽的 展臂功，就这一个动作。一天也就练个三次，一组。后来脖子好了。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/22593099?utm_id=0

展臂功用到的主要肌肉应该是斜方肌，同时可能缓解了颈部肌肉。斜方肌感觉上是为肩胛服务的，但是它的疲劳导致了脖子疼。人体的运动系统远比我想像得复杂，这是我练展臂功治了脖子最大的体会。

后来练引体向上，还有 俯卧直臂支撑 沿矢状面（从正面上举）持哑铃上抬手臂至与身体平行。这两个动作，有时不小心动作没有注意发力的顺序，或者动作走形，或者数量或重量过大，都有过导致过脖子酸疼，当天可能落枕，持续一周。现在我在做完以后感觉一下，如果不非常好，那就加练四向点头，特别是左右单侧沉肩向另一侧抻脖子。不用手助力，仅仅拉伸。感觉能缓解。

（3）肩

引体向上不仅可能伤脖子，还伤肩胛后面。有一段时间我追求数量，并且希望快点突破，在底端爆发性用力拉起。经常导致肩胛后面疼，感觉是上背部疼痛。有那么几块肌肉，我分不太清，大约是大圆肌、小圆肌之类的，总之是稳定肩胛用的。

拉起以前，先使肩胛达到指定位置，下沉，后夹（称为内收？），保持住。然后再发力拉起。如果不能形状开了，那么再来一次，先肩胛动作，然后保持住。如果保持不住，或者肩胛后夹做不到，那就离受伤不远了，应该休息。

不要使用爆发力拉起。可以快，这样能省力，但是不能突然。肩胛放松，沉到底，甚至两肩靠近耳边，发力行程更长了，但是肩胛和背阔肌同时发力，我的感觉是更容易受伤。

这个原则可以推广一些，即小肌肉用于固定，大肌肉作为主动肌主要发力；小肌肉先动作，保持，等长，大肌肉再发力。如果大肌肉已经动作了，小肌肉不可能再有力量改变姿态。在力量举的书里，也旁证了这一推测。

如果拉起时肩膀响，伴有轻微不适或者轻微疼的话，我的感觉也是因为小肌肉发力没有结束，姿态不能保持。宽握引体向上时，我目前经常有这种情况，通过收紧肩胛导致后仰躯体可以解决。深蹲时也一样，膝盖响或疼，通过小腿扭转的趋势，大腿内夹的趋势或外张的趋势，能解决。

左肩疼了很多年，按压后能缓解一阵儿。后来发现，坐着看文章或网页时，为了省力，我的左肘几乎总是搭在桌上，受键盘阻挡小臂与桌子边缘平行。这导致肩胛后侧持续 过拉伸。

能够发现左肩疼的原因，可能跟长期锻炼之后感觉更加敏锐有关。这是健身群里的大神 饭后老打嗝 或 Zack说的。不然即使天天去感受，也可能感觉不到。

在同一问题中，锻炼的经验对于姿态的矫正也起了作用。想起来就把左肩扳回来，而不是内疚自责。刚开始偶尔能注意到，那么能注意到多少次就算赚了。后来慢慢经常注意到，再后来不需要刻意注意也能保持不向前探左肩了。左肩的疼痛消失了，只有在偶尔长时间阅读屏幕的时候才犯，那时需要的不仅是注意而是间歇了。

右肩在引体向上的时候才发现问题。不刻意后夹的时候会向前探，可能是由于后背或肩胛的肌肉不如胸肌发达，所以拮抗牵引的结果就是有点圆肩。不用力时还好，用力的时候，比如引体向上数量稍微多点，或者引体向上时负重，或者直臂上举向后，或者面拉，右肩的角度不对，没有充分下沉和后夹，会导致响声或者疼。这个不仅需要刻意注意姿态，先固定姿势才发力，而且需要慢慢锻炼右肩后侧的肌肉。还在努力中。

因为常年用计算机，还有引体向上握住以后下拉，也有类似网球肘和鼠标手，有的时候也会有。因为经常关注状态，所以发现了休息一下，就好了。经常关注，是锻炼带来的直接效果。

七八年以前手腕常疼。认识我年头多的同学，会注意到我那时一直戴着护腕，有时是拆下来的线衣袖子，这个感觉最好。XL同学提醒我用引体向上或悬挂帮助腰椎，结果引体向上进步不大，因为握力（也许还有腕屈和腕伸）提高，手腕不疼了。这个故事告诉我们，很多关节的疼痛来自肌肉力量不足。

（4）腰

还是因为近视，不仅向前探脖子，而且以胯骨（上缘还是下缘？）为轴，上半身前倾。腰的负担非常大，长期受到剪切力的作用。

又，我的关节延展度先天好，经常玩儿直腿体前屈。终于有一天玩脱了，我觉得是这个原因。直腿体前屈以后，第二天早晨第一次腰突。想来可能早有征兆，也许早就犯了，但是我并不知道。如果更早就是腰突的话，那么当年坐在软床上，以为是腰扭了，可能才是第一次腰突。

总而言之，腰突并不是运动带来的结果，而是姿态不良之类的生活习惯导致的。锻炼对腰突以后的生活有帮助。

虽然由于腰突，对于前倾上半身的动作都要格外小心，甚至干脆就跳过不做，但是锻炼对腰突有帮助。一方面，温柔地训练加强了腰部附近的肌肉，有利于稳定腰椎。另一方面，锻炼提高了感受的敏锐程度，更容易意识到“不好，季节有变”或者“有点疲劳，离腰突不远矣”。能更早，在更轻微有预兆的时候就开始休息。

练平板撑，恐怕长至第七八年。如果算上俯卧撑的话，15年了。我才注意到在平板撑这一类姿势中，骨盆后倾，用腹肌发力，避免腰肌代偿。联想到武术动作里略微小腹突起什么的，感觉打开了一扇大门。充分体会到活到老、学到老，底层有无限空间无限细节可供玩味。

（5）大腿

练靠墙倒立的时候，因为空间大腿受伤。练倒立需要有足够的空间。

上下的空间要够。倒立的高度相当于双手过顶举直臂，这需要2米左右高度。靠墙倒立，需要有一面墙。也就是说，门不行。因为门框的高度不够两。保证倒立时脚踢到门框以上，对动作需要有格外的要求。锻炼，而不是练得纯熟显摆的话，要留有充分余量而不要另外限制。危险。左右和身后的空间也要够，需要保证倒下来的时候可以不被阻挡，脚就能踩实地面。不然也危险。

我练靠墙倒立的时候倒向右方，那里是个一米高的铁架子。大腿青了块，就像被棍子斜着实打到。好在没有骨头没有事。印象里花了好几个月，印子才逐渐退下去。

还是大腿，用木棍当剑挥劈的时候，姿势不对，劈在了大腿上。疼！所以后来在网上看到有人提醒说练刀剑的时候要小心，有人表达了不屑。我想，如果当时我用的不是木棍，而是刀，如果再开了封……嗯。

大腿的这两次伤痛，都是运动伤害，作死的结果。

（6）膝盖

初中的时候家里盖了新房子。为了结实，地基石足有一米高。当时我们都不懂，我就靠窗户看书，右膝靠近地基石。可能只一个冬天？我的右膝从那以后经常疼。前几年用核磁共振检查了一次，结果是 没大事，保守治疗。

选不太费膝盖的动作，加强膝盖周边的肌肉。还在努力中。现在验证了的是，在深蹲等动作中，也包括主要单腿发力的动作，令小腿和大腿均有扭转的趋势（并不真的转，而是绷紧），对缓解膝盖疼或响都有用。另外 ，注意大腿后侧参与发力，因此可能调整了角度，也有帮助。

有次送毕业生团建，打真人CS。在山坡上来回跑，一脚踩到坑里，膝盖当时有点疼。疼了半年，做俯卧撑的时候小腿向前发力的时候难以保持。这个故事告诉我，非常多的肌肉与各种动作错综复杂地联系在一起，俯卧撑居然需要肌四头肌，也因此需要膝盖。好好的时候，根本不会注意到它存在。

膝盖的老伤，算姿态不良。后来那半年，算运动伤害，作死的结果。

（7）小腿，脚踝，脚

小腿后侧鼓起个包。相当长时间我觉得那是静脉曲张，毕竟教师职业和年龄，还有喜欢徒步都会导致高发。后来有天突然想起来，可能根本不是静脉曲线，而是弹力带撸的。作死的结果。

当时的动作是把弹力带一端固定在面前的高低柜腿上，另一端卡在脚踝上，后踢腿。秃鲁了。当时紫了一块，怀疑静脉曲张以后很久才意识到，就是那里。

脚跟（滑囊炎），脚踝，脚掌和脚拇指都受过小伤，几乎全是夏天非常热徒步的时候，头脑不太清楚，在疲劳的时候动作没有控制好。

（7）发烧，腹泻，新冠

几乎都不是运动导致的，但是可能由运动加重。

新冠最吓人。目前看，根据心率和感觉，两次发作，每次之后一个月以上，应该更久，不能恢复到发作前的强度。

（8）意外的好处

年轻的时候，为头皮挺烦的。也听说过各种洗发精，还有什么，洗头的东西，也试过不少。理论上，有说是血热的，有说是真菌吃头皮的，不一而足。

最好的办法是 每天洗，就没有头皮了。

气候干燥的原因，如果天天洗澡，皮肤会干，多数人会皮子紧（字面意思，不暗示熟皮子），会痒。而且由于缺水，以前并没有天天洗澡的习惯。但是锻炼之后出汗实在太多了，所以天天洗，头皮也没了。

（9）危险

即使我做的多数是自重训练，也用哑铃这种小重量的，但是仍有危险。有过闭气时眼前一黑的时候。有过心脏咯噔一下，我心想哎呀不好。都没事。有过并非正锻炼的时候，心律不齐。先是感觉心慌得奇怪。用手环一测，心率相当低。二猫用手一搭，说，每跳几下，有两下跳得非常弱。好在都是一过性的。不过，我在锻炼的时候尽可能注意，不要闭气。推不起来就不推，举不起来就不举，拉不起来就不拉。

设备翻倒之类的有危险。引体向上架子，我的没有掉下来，但是在视频里看到过。二猫妈要求我不得做双腿抬起的动作，不然就把架子拆了。确实相当危险。

卧撑，我始终不敢做。到目前为止，图书馆翟老师保护的，我只做过一次。

群里的 饭后老打嗝 的锻炼方式是举铁，他提到小重量有些特有的危险。因为重量小，所以可以靠其他肌肉代偿完成动作。时间久了，会劳损。我怀疑，引体向上时我拉伤肩胛后侧，就因为代偿能解决，才经常弓背拉伤的。如果代偿也拉不起来，只能专注正确的发力姿势了。