对于实现需求“一副哑铃，有可替换的哑铃片 0.75kg，1.25kg，2kg，2.5kg每种各4片。可以组合出哪些重量”，此前写过一篇博客，https://zhuanlan.zhihu.com/p/702387535。我当时感觉有条件的穷举相当困难，束手无策，二猫用C/C++解决了。上次那个故事告诉我们，精确描述需求经常相当困难，即使你觉得问题简单并且考虑清楚了。
前两天练着的时候，突然想到，好像用Excel能解决。这次的故事告诉我们，如果需求清晰了，一切都不是问题。
总体的思路是——先穷举、再过滤。
问题1. 约束条件：两个哑铃重量相同，每个哑铃的两端重量相同。
2.5kg，2kg，1.25kg，0.75kg 共4种哑铃片。
思路是这样的。
（1）在每个重量组合中，4个哑铃片的每个有2种状态，
分别为0和1，1代表取、哑铃片拧在杆上，0代表舍、哑铃片不拧在杆上。
（2）哑铃片彼此重量不同，因此分配4种不同的权重，对应二进制每位2^3~2^0。
步骤如下。
（1）Excel表格的左半边，函数的自变量及取值。
第1行以4种哑铃片的重量作为标签；
第2行的数据是哑铃片的重量，用于接下来的计算。
第3行开始穷举4种哑铃片的所有状态可能。
其中 0000代表4个哑铃片都舍；
0001中的1代表0.75kg哑铃片取，其余哑铃片舍；
0010中的1代表1.25kg哑铃片取，其余哑铃片舍；
0011代表1.25kg和0.75kg哑铃片取，其余哑铃片舍……
其2^4=16种可能。
（2）Excel表格的右半边，函数值。
“半边”这一列，用于计算单个哑铃一端的重量。公式为
每个哑铃片的重量 * 每个哑铃片的状态0或者1 ，4个哑铃片累加。
也即 sigma( 每个哑铃片的重量 * 每个哑铃片的状态 )
也即 2.5kg*状态a + 2kg*状态b + 1.25kg*状态c + 0.75kg*状态d
下图中，D6是0.75kg哑铃片的状态，d是0.75kg哑铃片的重量。
如下图，得到哑铃组合的16种可能。
（3）接下来，把单个哑铃的一端加倍，再加上杆的重量1.1kg。
16种可能，不重不漏。其中有些组合的重量是相同的，给予保留。在锻炼中，这时的重量分布不同，旋转等动作的时候会有不同感觉。
按重量排序。需要排序的原因分析在第2个问题中详述，此处从略。
问题 2. 放宽的限制条件：只组装出单个哑铃。
限制条件：每个哑铃的两端重量相同；每端不超过4个哑铃片。
2.5kg，2kg，1.25kg，0.75kg 共4种哑铃片，每种2片，共8个。
（1）自变量-取舍状态，穷举所有可能，函数值-哑铃重量。
下图为局部，只包括了所有可能中的8种。
按问题1中的思路，把每片哑铃赋值为一个自变量，取值为拧上或不拧上的状态1或0。共2^8=256种可能。
函数值，半边（单个哑铃的一端）重量，取值为
Sigma( 每个哑铃重量 * 每个哑铃片的取舍状态)
下图为局部，只包括了所有可能中的4种。
接下来，求单个哑铃的两端，再加上杆的重量。
（2）过滤条件1 相同重量哑铃片的去重
有一种情况，在穷举中认为两种不同组合，但在需求中视为相同的组合，需要去重。
例如：两个0.75kg哑铃片间没有任何不同，因此取任何一个，在需求中认为相同。但是在上述穷举中两个0.75kg哑铃片的状态是不同的变量，所以未去重。
解决方案如下。
两个相同重量的哑铃片，设1为取，0为舍，共有如下4种可能组合。
| 哑铃片a | 哑铃片b |
| 0 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 1 | 1 |
我们可以注意到，以上4种组合中 01 和 10 两种状态是完全相同的，因为在需求中两个相同重量的哑铃片没有任何不同，二者取哪个并无区别。
根据以上分析，我们过滤掉 10 的这种情况。
即 遍历4种哑铃片，只要其中任何一种哑铃片有10这样的组合，去除这一组合。
在Excel中分两步完成。
第一步 取重量相同的2片哑铃，如果组合为10，作标记为1。
算法是 左侧的权重为2^1=2，右侧的权重为2^0=1；如果 左*2 + 右 的值 为2，那么标记赋值为1，否则赋值为0。如下图所示，标记“0.75kg - 10”为1。
第二步 遍历所有4种哑铃片，作 或操作，即4种哑铃中有任何一个符合（组合为10），对“有哑铃片存在10组合”标记为1。如下图所示。其中的“+0”是为了把TRUE或FALSE转为1或0的形式。
（3）过滤条件2 哑铃片超过4个，去除
对左侧的状态 求和，哑铃片每取1片会有加1。如果总数大于等于5，对“哑铃片4个及以下”作标记1。
（4）过滤条件1 + 过滤条件2
上述两个条件中任意一个标记为1，那么标记“两条件过滤”当前组合为1。
设置筛选条件如下，去除所有标记为1的行。
（5）排序
筛选完成后发现，与问题1不同的，哑铃的重量并非由小到大升序排列。原因是二进制权重（以及所有带权的进位制）都假设 右边的所有位取1所得到的结果，小于 左侧任意一位的值。如二进制的100 > 011，如十进制的 1000 > 999。这样，按0000~1111穷举权重，得到的结果才是符合升序排列的。即相当于按下图的条件排序。
在下述反例中，
状态0000 1111得到重量4，
状态0001 0000 得到重量2。
状态 自变量值 0000 1111 < 0001 0000，
重量 函数的值 4 > 2。
这导致的按状态升序排列所有组合，函数值并非全都符合升序排列。
在Excel中，容易处理，按列 半边重量（或*2未含标，或加杆1.1kg，顺序相同）排序。
或
（6）得到结果
因为有筛选，所以如果想把结果复制粘贴到Excel之外，会把筛选掉的组合也一并复制粘贴出来。
排除筛选掉的行的方法，在Excel中按如下步骤操作。
第一步 Ctrl-g 或 F5 得到 定位对话框。
选择 定位条件。在下图中选中 可见单元格。
Ctrl-c复制，打开或新建 另一个工作表，鼠标右键 | 选择性粘贴。如下图所示，按 数值 粘贴。
共49种可能。经与二猫的工作核对，一致，旁证我的结果是对的。
画图分析，双哑铃 其中每个哑铃重量的增长，如下图所示。
从图中可以看出，（1）增长较为平缓，这样锻炼时可以组合出步进不那么激进的重量；（2）某些重量有不止一种组合。相邻求差发现步长有三种，分别是0、0.5、1、1.5。其中6处步长为1，4处步长为1.5，2处步长为0.5.
单哑铃的重量增长，如下图所示。具有与双哑铃相同的特性。
相邻求差发现步长有四种，分别是0、0.5、1、1.5，其中多数是0.5，更多哑铃片使增长更平滑。7处步长为1，1处步长为1.5——最后一步。
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