工作的时候每个人表现各自不同。我写代码的时候骂骂咧咧，写到兴头上“破玩意”“啥玩意”之声不绝于口。二猫聚精会神的时候嘟嘟囔囔，“怎么回事怎么回事，怎么会有俩解呢”。二猫妈就会出现，“是因为有俩解，你看这里……”两个开始嘀嘀咕咕解题，一会儿哈哈大笑，“对啊对啊，你看果然吧。”

我猜测应该是个二次方程，如果画图的话，两条曲线两个交点，这样讲解两个解会更一目了然。于是祭起强有力的法器 geogebra，问，“啥题这么有意思，给我看看呗。”

1. 题目

是这么道题。

二猫口头讲解，x2就是x^2，y2就是y^2。也不知道从哪找来的题，排版可真够粗糙的了。

我看都没看，就往 geogebra 里录入。

右上解，选 CAS和绘图区两个视图（这玩意叫做视图么？）。

两个方程

eq1: x*y + x + y = 10
eq2: x^(2) y + x y^(2) = 24

对应XOY平面直角坐标系中的两条曲线， eq1设置成蓝色，eq2设置成红色。

交点呢，没看到啊？放大一下。在第一象限，两条曲线贴得很紧，不过确实有两个交点。书中暗表，我的错误就从这里开始埋下伏笔。这是两个交点不假，但是题目所求的并不是交点，而是x^2+y^2. 此两解并非彼两解，我无意中偷换了概念。

当时我并不知道此处有坑，就昂首阔步走下去了。

2. 解方程

精确解({eq1,eq2},{x,y})

此处忍不住跳出来评论一下。不知道是geogebra原生如此，还是国内做的本地化。用汉语指令“精确解”，确实能为使用者降低门槛，翻译也符合国内的使用习惯。然而，当用户想查细节去找手册的时候，却没有汉语只有英文的。如果不知精确解这条指令在英文的手册中是如何称呼的，就连条目都查不到。

solve({eq1,eq2},{x,y})

两个交点，两个解。而且这两个解在图中正是两条曲线的交点，横轴以3为中心对称，±根号5，纵轴以3为中心对称，±根号5，两个值刚好互换……

等等！互换？这道题求的是x^2+y^2，如果把x和y互换，那不就应该只有一个解吗？这时注意到了刚刚的坑，解非解。

3. 验算

二猫和二猫妈解出两个解，数值不等。

验证一下，我猜得对不对，看起来x和y可以互换啊。顺便，我求出来的是两个解中的哪一个呢？

element(element(solutions({eq1,eq2},{x,y}),1),1)^2+element(element(solutions({eq1,eq2},{x,y}),1),2)^2

二猫和二猫妈的两组解中，确实有一组是28。然而另一组解不是28，我的另一组，交换x和y却仍然是28。

4． 再验算

把求得的x和y代回方程中，看左右两边是否相等。

x1:element(element(solutions({eq1,eq2},{x,y}),1),1)
y1:element(element(solutions({eq1,eq2},{x,y}),1),2)
x1^(2)*y1+x1*y1^(2)
x1*y1+x1+y1

都与预期完全符合。

或者

x1:element( element(solve({eq1,eq2},{x,y}),1),1)
-> x = -sqrt(5) + 3
y1:element( element(solve({eq1,eq2},{x,y}),1),1)
-> y = sqrt(5) + 3

5. 咦？

我求得的两组x,y(以及再求得的一组x^2+y^2)，代回方程没问题，只能证明这两组解是对的。但是并不能表明就没有别的解了。

6. 复数解

突然就对 精确解 这个术语所暗示的含义产生了怀疑。通常会觉得，与精确相对的是模糊吧，即，不用 3+sqrt(5)，而是求解为 5.24 这样？

跟二猫妈讨论，咋知道你们的另外一组x^2+y^2解对应的x和y是实数呢？二猫妈说，另一组x^2+y^2是4，是实数啊，而且是正的。

x^2如果是正的，那么x就是实数。但是x^2+y^2是正的，可能x^2是负的（因此x不是实数），但是y^2是个更大的正数呢。

再解一次。

csolve({eq1,eq2},{x,y})

果然，坏人在这里！还有两个解，都是有i的。

验算略去，代回原方程也都对，x^2+y^2也是正的没错，并且不是28。

矩阵一下，对换x和y以后确实应该相等。。

7. 近似解

既然到了这一步，近似解也跑一遍吧。

很好玩。

8.竞赛题

按题目要求，x^2+y^2到底几个解呢？回顾一下。

你以为是两个解？并不。二猫和二猫妈辛苦解出的答案为4的那组解需要舍掉。因为题目里说“已知x,y都是实数”。表面上看，这半句是用来降低题目难度的，然而，这是用来提升题目难度的。因为这是一道竞赛题，而不是 geogebra演示题。所以，拿到这道题的人，如果不是像我一样傻乎乎地求出每个x和y，那么一定会换元，直接求出x^2+y^2，而不经过求出x和y这一步骤。非常容易地，就会以为这道题不过如此非常容易，忽略了对求解结果的delta的检验。明明多求了两个复数解，却不符合题目要求了。

这是一道竞赛题，竞赛题哪有不骗人的。

所以说，处处是坑。我最开始做的结果就是对的，然而我并不知道自己用错了函数，瞎猫碰到死耗子，盲人骑瞎马跨过去没踩到而已，并不是远远地躲开了坑。二猫和二猫妈用了高级的手法，但是没有注意到表面降难度的条件却是坑。掉进去又出来，出来以后发现踩在另一个坑里，再出来发现还有一个坑。这就是最好玩的地方。