手动测量经纬度,只使用简单工具

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当年读儒勒·凡尔纳的《神秘岛》,以及此后反复阅读,每一次都为其中的智慧而击节赞叹。美国南北战争时期,五个人乘坐热气球从南方囚禁中逃出来,在一位远离人烟的荒岛上从一无所有到烧陶、制铁、电报机,几乎重建了工业。流落荒岛的第一件事,他们要确定自己的位置。是靠近陆地,还是孤岛。进而,才能决定要做长久打算,还是有可能尽快返回人类社会。

在夜里,工程师用六分仪测量南十字(?)的高度角,确定了纬度;在接近正午,用保持出发地时间的手表和当时时间之差确定了经度。由经纬度和回顾地图,他们确定远离陆地,缺乏远航的条件。

不用手机GPS,使用尽可能简单的工具,我们能何种程度精确地测量自己所在的经纬度呢?我试了一下。

1.原理

本节讨论实验所依据的原理,即如何由 测量的物理量 推算出 待求的物理量经度和纬度。

1.1 纬度

太阳的直射点以一年为周期,在北回归线和南回归线之间往复移动,导致正午太阳的高度角每天持续变化。因此,可以根据 正午太阳高度角、当天日期(确定了太阳直射点的纬线),可求得当地的纬度。

1(1)公式为 太阳高度角=90°- | 当地纬度 – 太阳直射点纬度 |

或 绝对值导致正负号对应的两个解,分别是太阳在赤道以南和以北的情况。

太阳在赤道以南或以北,可根据当天日期在春分或秋分前后确定。

涉及到的变量包括 太阳高度角,测量得到;太阳直射点纬度,根据当天日期查表或公式得到;当地纬度,待求的量。

(2)太阳直射点纬度

太阳直射点纬度 方法1 查表

以下表格都可以

Declination table

https://astronavigationdemystified.com/survival-declination-table/

https://moontracks.com/daily-declinations.html

https://tieba.baidu.com/p/5381726760

根据当天日期,可查表得到 赤纬,与太阳直射点纬度相同。

太阳直射点纬度 方法2 公式

太阳赤纬角 = 0.39795 * cos ( 0.98563 * ( n – 173 ) )

其中 n 是积日,即日期在一年中的序号,以1月1日为1。

(3)太阳高度角

置坚杆垂直于地面,测量正午前后日影的长度与杆的长度。日影长度/杆的长度,是太阳高度角的余切值,或者等比例画出日期的长度和杆的长度,用量角器测量。

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(这里在实验还有需要讨论的细节,比如 如何确定正午,如果以北京时间为准,那么当地经度并非东八区,比如在南太平洋,带来的误差有多大;,如何保证竖杆垂直于地面,不那么垂直的误差会对测量精度带来多大影响。)

1.2 经度

根据 测得的当地时间 与 标准时间(已知经度)的时间差,可以求得当地的经度。当地时间的测量不以手机或广播或国家授时中心为准,而以太阳高度角最高点为 正午12:00。

环地球一周经度变化范围360度,时间变化范围24*60分钟。因此每度合4分钟。例如,长春在北京以东大约5度,因此正午12:00即太阳高度角最大比北京早大约4分钟/度*5度=20分钟。这样,我们可以根据测得的所在地正午时间与北京时间(东经120度经线的正午时间,不是北京的经线的正午时间)之差,求得所在地的经度。公式为

当地经度 – 东经120 = 时间提前分钟数 / 4

2.实验装置

朝南的窗台,假设水平良好。

硬质活页夹,纸。把硬质活页夹的三个角用铅笔标记在窗台上,以确保不慎移动后可以复位。

一支笔。笔帽,当作竖杆。在纸上标记竖杆的中心位置。

用手机作为手表。用笔在纸上标记竖杆顶端日影和时间。如图所示,竖杆是笔帽有弹性夹持部分(这东西叫什么名字?)。

3数据分析时使用 geogebra和excel,并非必须。

3.实验过程

2022年2月20日,11:26起大约每4分钟标记一次竖杆顶端影子的位置,同时记录时间。每4分钟太阳会移动大约1度(24*60分钟/360度=4分钟/度),更高的精度难以标记。

其间,因为玻璃较脏,有时会挡住阳光,竖杆影子的顶端看不清。在这之前,在纸上标记竖杆影子的顶端,然后把整个硬质活页夹移动到光线更好的地方,保证竖杆影子顶端与标记处仍然重合。

整个实验在12:07结束。后来在14点以后还测了几组数据,第二天21日上午又测了几组数据。对实验结果没有帮助,因此忽略这些数据。照片如下图所示。

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4.实验数据

我们只需要角度,因此只需要知道杆和影子的长度比例作为余切,需要时间差,而不需要长度的绝对值。所以我并没有测量竖杆的长度数值,而是在geogebra中测量角度。

4.1 太阳高度角

把竖杆放倒,在纸上标记出底端到顶端的距离,如图中线段CD。

在geogebra中导入测量结果的照片。在图中把竖杆底端中心标记E点。令EF长度=CD长度。

可以看出,G点附近的竖杆顶端影子基本在同一条直线上,并与E点向下的直线大致垂直。因此G点选取对高度角精度影响不大。

角度FGF即太阳的高度角,用geogebra测量得34.95度。

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4.2 当地正午与北京时间正午的时间差

此处实验设计的精度不好。我本以为,日影会是个大圆。拟合出圆以后,连接圆心和竖杆底端,这条直线与圆交点对应的时刻就是正午。

我没有考虑到,日影与杆间的关系是余切函数,而余切函数在90度附近变化缓慢,过零点不明显。所以,实验测得的竖杆末端几乎是一条直线,观察不到弧,因此找不到圆心。我需要测量更多离90度即正午较远的点,才能形成明显的弧降低误差。

6注意,不能仅测早晚几个点来确定正午。因为当时时间是未知的,不能根据北京时间确定数据的“中间”即正午的位置。事实上,正午,正是要测量的物理量。

所以,我补测了14点以后的几组数据和第二天的数据。但是,弧形仍然并不非常清晰,并且需要较长时间测量。

我粗糙地按如下方式处理,得到了测量值。把所有竖杆影子的末端大致拟合成直线LK,过竖杆末端E作LK的垂线,垂线与LK交于M。

7方法1 观察M点在记录的时间范围,在11:45附近,比这个时间略早。

方法2 线性映射

LK长度对应11:26到12:07即41分钟,求KM长度对应的分钟数。

LK/KM = 41/x  => x = 21(约)

求得x后,11:26加x分钟,得到正午时刻对应的北京时间11:47。

5.数据分析

根据公式(或查表)以及测量值,求得经度和纬度。

5.1 纬度

公式 太阳高度角=90°- | 当地纬度 – 太阳直射点纬度 |

2月20日

(1)测得正午太阳高度角34.95度。

(2)查表太阳直射点纬度 -11.21666667 (南纬)

求得当地纬度为 南纬66.26666667,或 北纬43.83333333。

根据指南针所示,太阳从南侧而不是北侧经过,因此长春纬度为 北纬43.83。

又,

公式 太阳高度角=90°- | 当地纬度 – 太阳直射点纬度 |

2月20日

(1)测得正午太阳高度角34.95度。

(2)根据公式0.39795 * cos ( 0.98563 * ( n – 173 ) ),积日n为51,得到赤纬为-11.47025014。

求得当地纬度为南纬66.52025014,或北纬43.57974986。

根据指南针所示,太阳从南侧而不是北侧经过,因此长春纬度为 北纬。

算得长春在北纬43.58。

5.2 经度

根据测量值当地正午为北京时间11:47,或者北京时间11:45。

分别比北京时间提前13分钟或15分钟。按4分钟/度,即0.25度/分钟计算,当地在东八区中央120经线以东3.25度或3.75度。

算得长春经度为东经123.25或东经123.75度。

6.误差讨论

6.1 对照标准

在网上搜索一下,长春市 经度 : 125.32 纬度: 43.90。

或者如下。

8在高德网页版上得到我所在的位置东经125.35,北纬43.8。

6.2 误差

(1)绝对误差和相对误差

我算得的数据 纬度为北纬43.58,经度为东经123.25或东经123.75度。此处应有表格,略。

纬度误差,约向南0.2度;经度误差约1度(最差3度左右)。相对误差都小于1%,尚可。

(2)误差换算成公里数

根据地球大圆或赤道4万公里(”坐地日行八万里”),经度和纬度都是360度,得4E4 km/360度 = 111.11公里/度。这样,我的测算误差大约100公里。

100公里看起来误差不小,相当于在如图所示的范围附近,即长春偏西100~300公里,略向南公里左右。在向通辽一带,可能比图中红圈更靠近长春一些。

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这个结果貌似有点糟糕。然而在更大的尺度,如下图所示的范围,纬度几乎没错,经度从长春偏到沈阳。考虑到长春使用北京时间,相差达5个经度,甚至北京也与北京时间相差-4个经度,1~3度并不算太多。

a如果我们像《神秘岛》一样随热气球飘到一个荒芜人烟的地方,测算得到如下图所示的位置,判断是在陆地、陆地附近,还是大洋中心,结论还是有价值的。图中,红色地标是测得的结果,其左侧“家”的标志是长春。

b

7 热爱动手

一个硬质活页夹,一支圆珠笔,手表,得到下面这张粗糙的纸,进而推算出100公里以内范围。炫酷吧?

c也可能有人觉得,看下手机的GPS不就得了么,哪用得到这么麻烦。而且这也就是初高地理课水平的实验,说不定对高中生的精度要求更高呢。

当年我请教本科的导师李树杰老师,为什么要做实验。根据牛顿第二定律实验报告上的数据我都能编,连噪音都能随机啊。类似的疑问还有,高等数学为什么要证明,我信还不行吗?李老师教导我,做实验的目的不是为了验证实验结论,而是为了锻炼实验的能力。这段话我至今铭记,并且二十多年来令我受益良多。

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