当年读儒勒·凡尔纳的《神秘岛》，以及此后反复阅读，每一次都为其中的智慧而击节赞叹。美国南北战争时期，五个人乘坐热气球从南方囚禁中逃出来，在一位远离人烟的荒岛上从一无所有到烧陶、制铁、电报机，几乎重建了工业。流落荒岛的第一件事，他们要确定自己的位置。是靠近陆地，还是孤岛。进而，才能决定要做长久打算，还是有可能尽快返回人类社会。
在夜里，工程师用六分仪测量南十字（？）的高度角，确定了纬度；在接近正午，用保持出发地时间的手表和当时时间之差确定了经度。由经纬度和回顾地图，他们确定远离陆地，缺乏远航的条件。
不用手机GPS，使用尽可能简单的工具，我们能何种程度精确地测量自己所在的经纬度呢？我试了一下。
1.原理
本节讨论实验所依据的原理，即如何由 测量的物理量 推算出 待求的物理量经度和纬度。
1.1 纬度
太阳的直射点以一年为周期，在北回归线和南回归线之间往复移动，导致正午太阳的高度角每天持续变化。因此，可以根据 正午太阳高度角、当天日期（确定了太阳直射点的纬线），可求得当地的纬度。
（1）公式为 太阳高度角=90°- | 当地纬度 – 太阳直射点纬度 |
或 绝对值导致正负号对应的两个解，分别是太阳在赤道以南和以北的情况。
太阳在赤道以南或以北，可根据当天日期在春分或秋分前后确定。
涉及到的变量包括 太阳高度角，测量得到；太阳直射点纬度，根据当天日期查表或公式得到；当地纬度，待求的量。
（2）太阳直射点纬度
太阳直射点纬度 方法1 查表
以下表格都可以
Declination table
https://astronavigationdemystified.com/survival-declination-table/
https://moontracks.com/daily-declinations.html
https://tieba.baidu.com/p/5381726760
根据当天日期，可查表得到 赤纬，与太阳直射点纬度相同。
太阳直射点纬度 方法2 公式
太阳赤纬角 = 0.39795 * cos ( 0.98563 * ( n – 173 ) )
其中 n 是积日，即日期在一年中的序号，以1月1日为1。
（3）太阳高度角
置坚杆垂直于地面，测量正午前后日影的长度与杆的长度。日影长度/杆的长度，是太阳高度角的余切值，或者等比例画出日期的长度和杆的长度，用量角器测量。
（这里在实验还有需要讨论的细节，比如 如何确定正午，如果以北京时间为准，那么当地经度并非东八区，比如在南太平洋，带来的误差有多大；，如何保证竖杆垂直于地面，不那么垂直的误差会对测量精度带来多大影响。）
1.2 经度
根据 测得的当地时间 与 标准时间（已知经度）的时间差，可以求得当地的经度。当地时间的测量不以手机或广播或国家授时中心为准，而以太阳高度角最高点为 正午12:00。
环地球一周经度变化范围360度，时间变化范围24*60分钟。因此每度合4分钟。例如，长春在北京以东大约5度，因此正午12:00即太阳高度角最大比北京早大约4分钟/度*5度=20分钟。这样，我们可以根据测得的所在地正午时间与北京时间（东经120度经线的正午时间，不是北京的经线的正午时间）之差，求得所在地的经度。公式为
当地经度 – 东经120 = 时间提前分钟数 / 4
2.实验装置
朝南的窗台，假设水平良好。
硬质活页夹，纸。把硬质活页夹的三个角用铅笔标记在窗台上，以确保不慎移动后可以复位。
一支笔。笔帽，当作竖杆。在纸上标记竖杆的中心位置。
用手机作为手表。用笔在纸上标记竖杆顶端日影和时间。如图所示，竖杆是笔帽有弹性夹持部分（这东西叫什么名字?）。
数据分析时使用 geogebra和excel，并非必须。
3.实验过程
2022年2月20日，11:26起大约每4分钟标记一次竖杆顶端影子的位置，同时记录时间。每4分钟太阳会移动大约1度（24*60分钟/360度=4分钟/度），更高的精度难以标记。
其间，因为玻璃较脏，有时会挡住阳光，竖杆影子的顶端看不清。在这之前，在纸上标记竖杆影子的顶端，然后把整个硬质活页夹移动到光线更好的地方，保证竖杆影子顶端与标记处仍然重合。
整个实验在12:07结束。后来在14点以后还测了几组数据，第二天21日上午又测了几组数据。对实验结果没有帮助，因此忽略这些数据。照片如下图所示。
4.实验数据
我们只需要角度，因此只需要知道杆和影子的长度比例作为余切，需要时间差，而不需要长度的绝对值。所以我并没有测量竖杆的长度数值，而是在geogebra中测量角度。
4.1 太阳高度角
把竖杆放倒，在纸上标记出底端到顶端的距离，如图中线段CD。
在geogebra中导入测量结果的照片。在图中把竖杆底端中心标记E点。令EF长度=CD长度。
可以看出，G点附近的竖杆顶端影子基本在同一条直线上，并与E点向下的直线大致垂直。因此G点选取对高度角精度影响不大。
角度FGF即太阳的高度角，用geogebra测量得34.95度。
4.2 当地正午与北京时间正午的时间差
此处实验设计的精度不好。我本以为，日影会是个大圆。拟合出圆以后，连接圆心和竖杆底端，这条直线与圆交点对应的时刻就是正午。
我没有考虑到，日影与杆间的关系是余切函数，而余切函数在90度附近变化缓慢，过零点不明显。所以，实验测得的竖杆末端几乎是一条直线，观察不到弧，因此找不到圆心。我需要测量更多离90度即正午较远的点，才能形成明显的弧降低误差。
注意，不能仅测早晚几个点来确定正午。因为当时时间是未知的，不能根据北京时间确定数据的“中间”即正午的位置。事实上，正午，正是要测量的物理量。
所以，我补测了14点以后的几组数据和第二天的数据。但是，弧形仍然并不非常清晰，并且需要较长时间测量。
我粗糙地按如下方式处理，得到了测量值。把所有竖杆影子的末端大致拟合成直线LK，过竖杆末端E作LK的垂线，垂线与LK交于M。
方法1 观察M点在记录的时间范围，在11:45附近，比这个时间略早。
方法2 线性映射
LK长度对应11:26到12:07即41分钟，求KM长度对应的分钟数。
LK/KM = 41/x => x = 21（约）
求得x后，11:26加x分钟，得到正午时刻对应的北京时间11:47。
5.数据分析
根据公式（或查表）以及测量值，求得经度和纬度。
5.1 纬度
公式 太阳高度角=90°- | 当地纬度 – 太阳直射点纬度 |
2月20日
（1）测得正午太阳高度角34.95度。
（2）查表太阳直射点纬度 -11.21666667 （南纬）
求得当地纬度为 南纬66.26666667，或 北纬43.83333333。
根据指南针所示，太阳从南侧而不是北侧经过，因此长春纬度为 北纬43.83。
又，
公式 太阳高度角=90°- | 当地纬度 – 太阳直射点纬度 |
2月20日
（1）测得正午太阳高度角34.95度。
（2）根据公式0.39795 * cos ( 0.98563 * ( n – 173 ) )，积日n为51，得到赤纬为-11.47025014。
求得当地纬度为南纬66.52025014，或北纬43.57974986。
根据指南针所示，太阳从南侧而不是北侧经过，因此长春纬度为 北纬。
算得长春在北纬43.58。
5.2 经度
根据测量值当地正午为北京时间11:47，或者北京时间11:45。
分别比北京时间提前13分钟或15分钟。按4分钟/度，即0.25度/分钟计算，当地在东八区中央120经线以东3.25度或3.75度。
算得长春经度为东经123.25或东经123.75度。
6.误差讨论
6.1 对照标准
在网上搜索一下，长春市 经度 ： 125.32 纬度： 43.90。
或者如下。
在高德网页版上得到我所在的位置东经125.35，北纬43.8。
6.2 误差
(1)绝对误差和相对误差
我算得的数据 纬度为北纬43.58，经度为东经123.25或东经123.75度。此处应有表格，略。
纬度误差，约向南0.2度；经度误差约1度（最差3度左右）。相对误差都小于1%，尚可。
(2)误差换算成公里数
根据地球大圆或赤道4万公里（”坐地日行八万里”），经度和纬度都是360度，得4E4 km/360度 = 111.11公里/度。这样，我的测算误差大约100公里。
100公里看起来误差不小，相当于在如图所示的范围附近，即长春偏西100~300公里，略向南公里左右。在向通辽一带，可能比图中红圈更靠近长春一些。
这个结果貌似有点糟糕。然而在更大的尺度，如下图所示的范围，纬度几乎没错，经度从长春偏到沈阳。考虑到长春使用北京时间，相差达5个经度，甚至北京也与北京时间相差-4个经度，1~3度并不算太多。
如果我们像《神秘岛》一样随热气球飘到一个荒芜人烟的地方，测算得到如下图所示的位置，判断是在陆地、陆地附近，还是大洋中心，结论还是有价值的。图中，红色地标是测得的结果，其左侧“家”的标志是长春。
7 热爱动手
一个硬质活页夹，一支圆珠笔，手表，得到下面这张粗糙的纸，进而推算出100公里以内范围。炫酷吧？
也可能有人觉得，看下手机的GPS不就得了么，哪用得到这么麻烦。而且这也就是初高地理课水平的实验，说不定对高中生的精度要求更高呢。
当年我请教本科的导师李树杰老师，为什么要做实验。根据牛顿第二定律实验报告上的数据我都能编，连噪音都能随机啊。类似的疑问还有，高等数学为什么要证明，我信还不行吗？李老师教导我，做实验的目的不是为了验证实验结论，而是为了锻炼实验的能力。这段话我至今铭记，并且二十多年来令我受益良多。
