手推 太阳静止轨道的半径

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前两天,和科幻作者和编辑亿万星辰大哥聊天的时候,聊到太阳风、CME、磁场偏转带电粒子、电磁屏蔽,海阔天空的。

这时他问了我一个非常具体的问题,地球的静止轨道是多少多少千米,太阳的静止轨道半径是多少?他说,在太阳的静止轨道上部署多颗卫星,就可以全天候监控太阳活动,也可能可以预警太阳剧烈活动大小年之类的。

太阳的静止轨道半径?我说,我得想一想……得算。

1.搜索不到,定义,手动推算

你也可能想到问AI。可得了吧,它的回答可能还不如我现编一个靠谱。

搜索引擎,让不少人错觉自己坐拥人类全部知识库。并不总行。一方面,并非所有的问题都能够用搜索引擎找到。比如你的左手至肘有多沉,你的大好头颅有多重,这个问题google并不知道答案。你有可能搜索到测量的途径,也许会指向196X年版的《十万个为什么》物理那册。但是具体操作还得你亲手实施。太阳的静止轨道半径,这种问题,有可能在某个天文数据完整的网站或者APP上有,但是我不知道具体的网址。

不能用搜索引擎的另一方面,你得知道这个概念的术语/名词是什么。有没有那种经历?年轻的时候觉得自己可牛了,发明了特别伟大的思想。没多久发现别人在几百年前就发明过了,你不知道的原因,就是课本里没写这个细节,或者你不知道人家的术语那么叫。

太阳的静止轨道半径,这东西真叫这个名字吗?我到现在也不知道。我所知道的是,
“太阳同步轨道”跟望文生义的含义不同。太阳同步轨道,所围绕的是地球,不是太阳。它叫这个名字,有另外的原因。

参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/631731847

所以,继续讨论之前,我们定义一下概念。

定义 付-杨-太阳静止轨道,在本文中简称为 太阳静止轨道,指人工或自然的天体a围绕太阳旋转所形成的轨道。该天体a具有这样的特性,在任意时刻,从它a到太阳的质心的连线与太阳表面的交点保持不变;也即,站在太阳表面,在任意时刻所看到的该天体a在天球中的位置不变。

站在太阳上,看到这个天体是不动的,静止的。因此,我们把这个天体的轨道称为太阳静止轨道。类似于在地球上看到的卫星是不动的,我们把这个卫星的轨道称为地球静止轨道。

正如下图中这个上帝之手里的橙色星球,无论如何旋转,从星球表面看筷子的顶端都是静止的。

亿万大哥要的是这个轨道的半径。这个值虽然(我)搜索不到,不过可以手动推算出个大概,精度不高,足以唬人。这是科幻和科普作者的基本功,难以保证所有需要的数据手头都有,必要的时候得能手推。

以下,就是手推、修正、交叉检验、再推论的过程。

2. 以“静止”作为条件,轨道角速度与太阳自转相同

从太阳静止轨道的定义可以推得它有什么特性呢?

太阳的旋转不像上图中由上帝之手控制,能各种方向乱转,而是(幸运地)只能自转。如果太阳有赤道,那么太阳的赤道在天球中保持相对稳定,会维持在赤道的平面中。在这个基础上,我们可以得出推论出,特性(1)太阳静止轨道与赤道面重合。具体推论过程,略。太阳静止轨道平面即不会与太阳的赤道平面形式平角(像南北回归线那样),也不会与太阳的赤道平面平行(像纬线那样)。

并且,特性(2)天体a在太阳静止轨道上绕太阳公转的周期,与太阳的自转周期相同。

这样,我们能得出结论,特性(3)太阳静止轨道的角速度与太阳自转的角速度相同。

由于天体a稳定在轨道上,没有动力主动变轨,与太阳系内其他行星的状态类似。特性(4)天体a的线速度应该与第二宇宙速度(天体在太阳系内作为行星,既不坠向太阳,也不会脱离太阳系)差不多。此时我犯了一个错误,后文会修正。

整理一下上述思路,根据特性(3)我们可以得到太阳静止轨道的角速度,根据特性(4)我们可以得到太阳静止轨道的线速度。

有个方程可以约束 线速度、角速度、半径 之间的关系。 即

v = r * w

其中 v是线速度,w(读作 omiga)是角速度,r是半径。

要求半径,所以 r = v/w.

搜索第二宇宙速度,得到 11.2km/s. 初中还是高中物理书里也有,容易验证。

搜索太阳自转角速度,得到可以追溯到伽利略,用自转解释太阳黑子的规则运动,那么可以根据太阳黑子的运动测量太阳自转。还有更多细节,太阳赤道和太阳两极的自转速度不同。我们取赤道附近,27天/圈。类似结果很多,仅举一例。

在excel中,我们用下述公式把 27天/圈 转换为 弧度/秒。

其中27天/圈,每天24小时,每小时3600秒,每圈2PI弧度。取倒数由周期得到角速度的频率。得2.69341E-06 rad/s.

把线速度11.2km/代入v,把角速度4,158,298.49 rad/s代入w,由公式r = v/w求得半径r为4,158,298.49km。

这数据对不对?交叉检验一下。同样的方法,换个参数,可以用于求地球同步轨道半径,这个数值可以搜索到。

求一下。用第一宇宙速度作为线速度,自转每圈24小时作为角速度(对应的周期),得到108,632.80km。

搜索一下,得到42,164km。类似结果很多,仅举一例。

求得108,632.80km,搜索到42,164km,差得有点远啊,2倍还多。

考虑了一下,差错的原因在于,静止轨道上的天体并非在地球表面,而第一宇宙速度、第二宇宙速度都假定在地面上。

所以,公式是对的,但是线速度不对。线速度应该是多少呢?

3. 由万有引力提供向心力

在静止轨道上,天体之所以没有遵循牛顿第一定律而扬长而去,是因为由万有引力提供了向心力。

万有引力与向心力刚好相等。我们能查到向心力的公式,也能查到万有引力公式。向心力公式,由圆周的位移公式两次求导得到向心加速度a,接下来用牛顿第二定律建立f和a之关的关系。我没推,在网上搜索的,看着差不多像,就用了。

列出来看看,都有哪些变量参与运算了。

向心力 f = m w v

万有引力 F = G m M /r^2

上述公式中,m表示天体a,M表示太阳;

w是天体a的角速度,v是天体a的线速度;

G是万有引力常数,r是太阳静止轨道的半径。

万有引力常数G可以查到,

太阳质量M可以查到。

线速度v和角速度w间还有上一节列出的 v = r * w 这样的关系,这样能得到向心力公式的另外两种形式 f=mw^2r;f=mv^2/r.在下面的推导中,我们用了f=mv^2/r这种形式,因为要求线速度。

万有引力F提供向心力f,所以令f = F.

得到 v = (GMw)^(1/3)

其中 万有引力常数G,太阳质量M可以搜索,角速度w刚才查过了。在Excel里算一下,得到25,333,521.75km。

这个结果对不对呢,我们又可以用地球静止轨道做交叉检验。地球的质量也可以搜索到。求得地球静止轨道为42,240.70km,与此前搜索到的42,164km相近。看来差不多。

中间还有个插曲。我以为差不多了的时候,发给亿万大哥。他问我,线速度的单位是千米还是米啊,另外这太阳静止轨道的半径真大啊。我先是非常肯定,然后陷入了自我怀疑,最后发现果然错了。量纲,是个多么重要的因素啊。

4. 结论,交叉检验,以及再推论

(1)结论

结论以及推算过程如下图所示。

先求线速度

然后求轨道半径

把数学/物理公式转换到Excel的公式不复杂,在本文中就不列出了。

(2)交叉检验

在上图中可以看到,使用地球静止轨道检验公式和参数和量纲是否正确。如果所求得的地球静止轨道与搜索到的相差较大(并且搜索的结果多且一致),那么公式或公式的参数有问题。如果所求得的地球静止轨道与搜索到的相同,那也不说明什么,并不能因此判定我就对了。这是证伪的意义所在。

(3)再推论

所以,再向外推一些结论,如果万一有与已知事实明显不符,或者令我惊讶,那么,可能推错了,还可能是个有趣科幻构思的出发点。

求得太阳静止轨道半径0.169AU(AU天文距离,地日之间的跨度)。

与水星轨道相比呢?

搜索到水量轨道半径

轨道长半径(a)= 0.387 AU,偏心率不太大,差不多是正圆。

参见

有哪位大哥知道八大行星椭圆轨道的参数吗? – 代代的回答 – 知乎

https://www.zhihu.com/question/587073670/answer/2917657810

太阳静止轨道半径0.169AU,在水星轨道半径0.387AU。太阳静止轨道在水星轨道半径差不多一半的地方,具体点是43.7%的位置。距离太阳相当近啊,高热、太阳风等的影响很大。卫星应该是什么样的呢,会有哪些技术,背阴面和向阳面温差有多大?这样的环境下,能不能载人,能不能常驻,会有什么故事呢?

会不会进入太阳表面了呢?与太阳半径相比。太阳半径,查一下,是695,500km, 0.00464913AU.

太阳静止轨道半径约为太阳半径的 0.169/0.00464913倍=36.35倍。看起来离太阳表面还远。

日珥能不能触及……呢?

 

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