1. 虚数i开平方根
二猫问，-1开平方根，得到的是虚数i；虚数数i开平方根，得到的是什么呢？
即 已知sqrt(-1) => i，
问 sqrt(i) => ?
2. 不能开方-什么是开方
简单粗暴的回答是，i不能开方。这种回答也不是没有先例，在除法里，我们规定 任何数都不能除以0。就这么规定的，似乎也没有什么原因。
真的没有原因。有，老师十有八九也讲过，可能咱们都没有注意到，或者后来考试也不是重点，咱们就忘了。就像网上公众号提到“吾生也有涯，而知也无涯”后面还有半句，不少人大呼被课本骗了。语文课本的书下注释明确写了后半句，“以有涯随无涯，殆已（我印象里是 汲汲乎怠哉。存疑”。这样的例子还有，共同点是你自己没注意怨谁。
a/0 非法，原因是 任何数乘以0都不能等于a。这是当时老师讲的。其背后的原理是 a/
0 并非一个数字，甚至这个数是否存在我们都不知道。a/0不是个数字，它是个运算。a/0表示这样的运算，如果这个运算可以求解，那么得到的数字 乘以0等于a。
类似的2/3的意思是 这是个运算，这个运算如果可以求解，那么所得的数字是 乘以3等于2的那个（那些？）数字。为了表示2/3这样的数字（！）我们由整数域扩展得到有理数域，这是另一个故事，按下不表。
我们确实有过规定，规定任何数不能除以0。那么是否有规定 i不能开方呢？不记得。
那么，我们类推一下。除以0的先例中的规定，要看除法的定义。虚数i是否能开方，我们要看看开方的定义。
什么是开方？
开方是一种运算，sqrt(a)的意思是 如果这个运算可以求解，那么所得的数字是 平方以后等于a的那个（那些？）数字。
运算sqrt(-1)，得到的结果是i。为什么呢，因为 i^2 即 i*i => -1。这是开方的定义决定的。
那么sqrt(i)的意思是什么呢？这有点麻烦，我们暂且搁置这个话题，用geogebra求一下。
3. 用geogebra试试
先测个空白，sqrt这个函数能不能用。
这什么玩意。
世界上第一个无理数，这个可以。
看来geogebra可能有特殊的语法，我不会。想个诡计吧。
-1的平方根是i，这是已知部分。
可以，可以。虚数i的平方根是0.71+0.71i，一个复数。而且geogebra贴心地给出了这个数在复平面中的位置。
图中，z1是虚数i，z2是sqrt(i)。
我说，看起来z2也能求平方根啊。二猫说，肯定能啊，既然它也是个复数。
我在geogebra里输入z2，怎么也不对。二猫说，“得用 z 下划线 2”吧。我心想，你平时偷摸学了不少啊。
结果是这样的。
4. 复平面-乘法的含义-手动求sqrt(i)
我若有所思，0.71……这数字咋这么熟悉呢。
过了一会儿，我在白板上画了下面这张图。
回到刚才我们暂时搁置的线索——开方到底什么意思。
开方是这样的运算，如果a=sqrt(x)，那么a是这样的数字a*a=x。一个数字x开方得到的数字a，a自己乘以a自己，能得到x。
那么sqrt(i)什么意思？一个数字，这个数字自己乘以自己，其结果是虚数i。
下一个问题，什么是乘法？在复平面上，我们已知（什么时候知道的？我也不知道，反正应该已经知道了）乘法是 绕原点逆时钟旋转（我们姑且忽略模的增长，假装没这回事）。
小结一下，
开方 是……符合……的乘法。
乘法 是 绕原点逆时钟逆转。
虚数i是什么？复平面上 坐标为 (0,1) 的那个点，即z1。
虚数i开方，就是 有个数字，它旋转两次相同的角度，就能从x轴正方向到达 (0,1)。这个数字是什么？
虚数i是（长度为1）角度90度的那个点。哪个点旋转两次相同的角度能达到90度？45度。
所以，虚数i开方，是长度为1，角度45度 的那个点。
长度为1，角度45度 的那个点的坐标是什么？在单位圆里，那个点的横坐标是 半径1*cos(45)，那个点的纵坐标是 半径1*sin(45)度。
三角函数 sin(45)=cos(45)=sqrt(2)/2，即
结论，sqrt(i) => 0.71+0.71i.
这一结果验证了geogebra的sqrt的结果。
5. 任意复数开任意（实数）次方-十二平均律
我们可以再求得更具有一般性一些。
虚数i的3次方根，结果是多少？那个斜体（？）的i是按alt+i打出来的。
-1 的2/3次方根，结果是什么？
数字长得像而且眼熟？因为那是60度和30度的正弦和余弦。是对180度和90度三等分得到的角度。
几次方根，就是把角度等分多少份。因为几次方，就是自乘/旋转几次。所以几次方根就是几等分角。
十二平均律，就是把一个八度内的音程等分成12分。跨八度是频率乘以2，所以等分就是开12次方根。
2/3方根就是三等分，再取两份。
十二平均律中一个八度里的第2个音，距离最左面3个8度^1/12，即3个倍频的12次方根，就是对倍频12等分，再取2份。
6. 数域
听说，复数是数域扩展的终点。所有的运算，其来源和结果一定不会超过复数的范围。
如上示例，任意复数可以开任意实数的方根。那么，任意复数，可以方根时，可以开任意复数的方根吗？
虚数i的虚数i次方，即i^i，如下图所示，这样行不行？
复平面上的几何意义是什么？需要扩展数域才能计算？
复数是数域扩展的终点吗？