(1)问题

这是在知乎上看到的问题。链接在此

一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？ - 知乎

https://www.zhihu.com/question/616149596

草率地想，当然啊，当然是匀速的。因为太阳在天空中划过角度的原因，来自地球的自转。在相当高的精度下测试，地球的自转都可以视为匀速。太阳初升到再初升，这是一个太阳日。同一星座，比如猎户，从初升到再初升，这是一个恒星日。二者略有不同，不过这个差异是恒定的，因此并不影响太阳划过天空时，单位时间的角度，也就是角速度，对角速度没有影响。

然而，对“当然”二字要格外小心。

我们忽略误差，假设太阳划过天空的角度是匀速的。然而误差真的可以忽略吗，即误差对肉眼无法察觉吗？

(2)误差存在

如果没有大气层的偏折，大阳划过天空的角度保持恒定，每小时 360/24=15度。

但是，由于大气偏折光线，导致肉眼所见太阳扫过的角度，在日出和日落前后比日中时要大。

参见为何在日出前，日落后，我们仍能看到太阳？。链接在 https://k.sina.com.cn/article_1808449333_6bcabf3500100goid.html 。

里面有张示意图，转引如下。

在非日出或日落的时间段里，在太阳的高度角较大，即更垂直于地面时，偏折的角度更小一些。

在日出和日落时段附近，光线偏折导致肉眼所见的太阳扫过了更大的角度范围，所以高度角变化速度更快。

这个误差有多大呢，是否能被肉眼觉察？文中提到，在明显的地点在赤道，大气偏折导致我们在日出时提前大约2分钟看到太阳。2分钟，太阳划过的角度是 2/60*15=0.5度。肉眼所见太阳的视角刚好是0.5度。也就是说，偏差达到1个太阳的张角那么大的。借助不太精密的设备，再降低光强对眼睛充分保护，肉眼是可以看到的。所以，这一误差不能忽略。

(3)发现错误

答完以上，发现美杨杨的张先生（https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17）提到

>日出没时高度角变化快方位角变化慢，日中天时相反

我还没有细想他说得对不对，但是！我审题不认真啊。答非所问，结论完全错误。

原题问的是什么？“一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？”讨论的是哪个物理量？方位角。

方位角是什么，大阳在大地上的垂直向下投影、与我即观察者作为夹角的尖儿、以及正北之间的夹角。要投影啊。

我答的是什么？我答的一直是太阳在天空中划过的角度。那是什么角度，那是如下图所示，太阳在黄色的平面上经过的角度。

题目问方位角是否匀速，我答了在太阳轨迹上的角度匀速。答非所问。

到这里，我们还不能知道，在太阳轨迹上太阳行过的角度匀速的假设下，是否能推得方位也是匀速的。但是，假设两个不同概念的值是一致的，这是不明智的，更何况这投影明显有角度存在，不是平行投影，两个值一致才怪。

(4)度量，实验检验

这时，简单地做法是既然对事实有争议，那就测一下好了。支起天文望远镜，支起史前巨石柱，还有各种上古或现代的设备……等等，这样相当花时间和成本。已有的测量数量是可以用的啊。

随便找一个网站，能根据指定时刻，给出太阳高度角和太阳方位角的。比如https://www.osgeo.cn/app/s1904。

如下图所示。指定经度，纬度，随便选了日期（以上在红框中）。给定一个时刻（在绿框中，在整个实验中要改变多次），点击计算按钮，得到一组天阳高度角和太阳方位角（在下方的两个红框中），记下来。

这样，如下图所示，我设置了5个*5组时刻（在红框中），组间内隔1分钟。得到了对应的高度角和方位角（在绿框中）。这5组数据分别是日出、上午、中午、下午、日落时分。

求出高度角之差的绝对值。考虑到高度差的变化可能为正，日出和上午，也可能为负，下午和日落。而题目关心的变化率应该对正负不敏感，所以对差取了绝对值。

求出方位角的差。

高度角的差和方位角的差都列在表中，根据数据画图，得到以下 chart。

其中蓝色的，表示高度角的差的绝对值，橙色的，表示方位角的差。在上图中我们可以看出，高度角的变化速度，在日出和日落时较快，在日中时最慢；方位角变化，在日出和日落时变化较慢，在日中时最快。上午和下午，高度角和方位角的变化符合相同的规律，即介于日出或日落时的速度与日中的速度之间。方位角速度最快和最慢之差达0.25度，高度角速度最快和最慢之差达到0.15度，分别达到太阳视张角的1/2和近1/3，不需要太精密的仪器是可以观察到的。

偏离一下主题。要想观测到这一事实，有个前提，导致在古代无法实施。我们可能想到，角度可以通过放大尺度，即圆的半径，比如把设备换成高大建筑或者山脉这种方法。这样角度可以测量得更精确。固定地点，以固定经度和纬度，这使得经度和纬度不需要精度。

然而，在这一事实的观测还有一个物理量，测量起来如此简单和精确，以至于我们甚至难以觉察到做过测量。但是没有这个物理量，或者精度稍低，整个测量就都不可能完成。

时间！我们上述数据中，精确到分钟。在古代，分钟，即每天的1/1440这种精度的时间，是不可信任的，至少不比太阳可信任。如果太阳是必须信任的，那么，就是信仰。质疑信仰，你就是坏人。后面不必讨论了。

回到正题。以上数据相当于实测。事实表明，日出、日落、日中的方位角变化，不是匀速的。事实顺便可以看出，不仅方位角，连高度角也不是匀速的。即使太阳在行经太阳轨迹时角速度恒定。

即使我们不知道为什么，不知道原理，甚至不知道每年365天中是不是只有我设置的那一天，甚至5千年里只有那一年的那一天才是这样——即使如此，事实仍然说明，在误差范围内，在可观测的精度下，太阳的方位角角速度不恒定。

(5)原理

原理就是倾斜平面的投影。具体原理是一顿三角函数，以及变化率。超出我的解释能力了，因此以下只给出一个例子。

假设地点为北纬42度附近，1月1日前后，所以太阳在日中时的高度角为25度左右。

如下图所示，我们用 geogebra 构造出符合天圆地方世界观的图。蓝色的天空，绿色的是大地。我们依据25度画出太阳轨迹的平面。金黄色的是太阳轨迹面，太阳在此经过。

我们在日初时分，即图的左侧，在太阳轨迹上划出10度。在日中时分，即图的右侧上方，在太阳轨迹上划出10度。这俩角度是相等的，只是因为拍照的角度，看起来日出时的10度的弧度要小一些，是相等的。

我们看日中时分，太阳在太阳轨迹前进10度。在这种情况下，高度角的变化和方位角的变化分别有多大。如下图所示，高度角变化-日中，太阳轨迹10度。

高度角的测量，是中心点至太阳和中心点至太阳在大地上的投影两条射线的夹角。

在图中可以看到，日中时，高度角（在图中这两个角是“竖立着”的方向）分别为24.73和25.15，
即高度角变化为25.15-24.73=0.42度。

方位角的测量，为太阳在大地上的投影，与中心点/我/观察者所形成的的连线这一射线与正北之间的夹角。所以方位角的变化，我们可以通过测量两次太阳的投影分别与中心点连线，这两条连线间的夹角。

如图下所示，我们可以看到，方位角的变化为11.09度。这个角度在大地上。

以相同的方法，我们测量日出或日落时的高度角变化、方位角变化。下图，日出时太阳轨迹上的10度。

如下图所示，在日出时，高度角由0度行至4.27度，所以高度角变化为4.27度。

如下图所示，日出时，方位角由变化为9.22度。

总结得到如下表格。

	日出	日中
方位角变化	9.22	11.09
高度角变化	4.27	0.42
太阳轨迹上的角度	10	10

太阳每小时在轨迹上转过15度，因此10度对应的时间为10/15小时即2/3小时，合40分钟。转换为平均1分钟的方位角和高度角变化。如下表。

	日出	日中
方位角变化	0.2305	0.27725
高度角变化	0.10675	0.0105

(6)结论

还记得我们根据实测数据画的 chart 么，就是下面这个。

我们只取日出和日中，求时段接近的每组4个差（或差的绝对值）的平均值。得到下面的表格。

	日出	日中
方位角变化	0.1675	0.255
高度角变化	0.1575	0.0025

对于（根据天文数据）实测和在Geogebra上测量结果略有差异，可能来自初值和我测量的误差。我在绘制 geogebra 时未能保证精确，有点移动了，人懒，没有重做。根据勾股定理复原一下场景，方位角9.22当为9.04左右，每分钟0.226度。仍大于天文数据实测得到的0.1675较多。

尽管存在差异，我们仍可以看出相符之处，数据表现出下述规律。

第一，日中时高度角变化缓慢，日出时高度角变化较快；

第二，日中时方位角变化较快，日出时方位角变化缓慢。

此前讨论过大气偏折造成的影响，当时没有特意区分影响的是在太阳轨迹上的角度，高度角，还是方位角。在日出前后，这种影响主要在高度角上，对方位角影响不大。

所以回到美杨杨的张先生（https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17）提到的

>日出没时高度角变化快方位角变化慢，日中天时相反

美杨杨的张先生的结论与上述实测和geogebra测量一致。

	日出	日中
方位角变化	慢	快
高度角变化	快	慢

回到问题上。

“一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？”

是的，一天中太阳方位角的变化速度不同。

（太阳方位角变化）不是日出和落时更快，相反，是日出和落时更慢。

日出和日中时的方位角变化，是匀速的吗？