日出和日中时的方位角变化,是匀速的吗?

(1)问题

这是在知乎上看到的问题。链接在此

一天中太阳方位角的变化速度一样吗,是不是日出和落时更快? – 知乎

https://www.zhihu.com/question/616149596

草率地想,当然啊,当然是匀速的。因为太阳在天空中划过角度的原因,来自地球的自转。在相当高的精度下测试,地球的自转都可以视为匀速。太阳初升到再初升,这是一个太阳日。同一星座,比如猎户,从初升到再初升,这是一个恒星日。二者略有不同,不过这个差异是恒定的,因此并不影响太阳划过天空时,单位时间的角度,也就是角速度,对角速度没有影响。

然而,对“当然”二字要格外小心。

我们忽略误差,假设太阳划过天空的角度是匀速的。然而误差真的可以忽略吗,即误差对肉眼无法察觉吗?

(2)误差存在

如果没有大气层的偏折,大阳划过天空的角度保持恒定,每小时 360/24=15度。

但是,由于大气偏折光线,导致肉眼所见太阳扫过的角度,在日出和日落前后比日中时要大。

参见 为何在日出前,日落后,我们仍能看到太阳?。链接在 https://k.sina.com.cn/article_1808449333_6bcabf3500100goid.html

里面有张示意图,转引如下。

https://picx.zhimg.com/v2-ddddf5f40a85031e84a60e1c8023ac95_r.jpg?source=1940ef5c

在非日出或日落的时间段里,在太阳的高度角较大,即更垂直于地面时,偏折的角度更小一些。

在日出和日落时段附近,光线偏折导致肉眼所见的太阳扫过了更大的角度范围,所以高度角变化速度更快。

这个误差有多大呢,是否能被肉眼觉察?文中提到,在明显的地点在赤道,大气偏折导致我们在日出时提前大约2分钟看到太阳。2分钟,太阳划过的角度是 2/60*15=0.5度。肉眼所见太阳的视角刚好是0.5度。也就是说,偏差达到1个太阳的张角那么大的。借助不太精密的设备,再降低光强对眼睛充分保护,肉眼是可以看到的。所以,这一误差不能忽略。

(3)发现错误

答完以上,发现 美杨杨的张先生 (https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17)提到

>日出没时高度角变化快方位角变化慢,日中天时相反

我还没有细想他说得对不对,但是!我审题不认真啊。答非所问,结论完全错误。

原题问的是什么?“一天中太阳方位角的变化速度一样吗,是不是日出和落时更快?”讨论的是哪个物理量?方位角。

方位角是什么,大阳在大地上的垂直向下投影、与我即观察者作为夹角的尖儿、以及正北之间的夹角。要投影啊。

我答的是什么?我答的一直是 太阳在天空中划过的角度。那是什么角度,那是如下图所示,太阳在黄色的平面上经过的角度。

题目问方位角是否匀速,我答了在太阳轨迹上的角度匀速。答非所问。

到这里,我们还不能知道,在太阳轨迹上太阳行过的角度匀速的假设下,是否能推得方位也是匀速的。但是,假设两个不同概念的值是一致的,这是不明智的,更何况这投影明显有角度存在,不是平行投影,两个值一致才怪。

(4)度量,实验检验

这时,简单地做法是 既然对事实有争议,那就测一下好了。支起天文望远镜,支起史前巨石柱,还有各种上古或现代的设备……等等,这样相当花时间和成本。已有的测量数量是可以用的啊。

随便找一个网站,能根据指定 时刻,给出 太阳高度角 和 太阳方位角的。比如https://www.osgeo.cn/app/s1904

如下图所示。指定经度,纬度,随便选了日期(以上在红框中)。给定一个时刻(在绿框中,在整个实验中要改变多次),点击计算按钮,得到一组天阳高度角和太阳方位角(在下方的两个红框中),记下来。

这样,如下图所示,我设置了5个*5组时刻(在红框中),组间内隔1分钟。得到了对应的高度角和方位角(在绿框中)。这5组数据分别是日出、上午、中午、下午、日落时分。

求出高度角之差的绝对值。考虑到高度差的变化可能为正,日出和上午,也可能为负,下午和日落。而题目关心的变化率应该对正负不敏感,所以对差取了绝对值。

求出方位角的差。

高度角的差和方位角的差都列在表中,根据数据画图,得到以下 chart。

其中蓝色的,表示高度角的差的绝对值,橙色的,表示方位角的差。在上图中我们可以看出,高度角的变化速度,在日出和日落时较快,在日中时最慢;方位角变化,在日出和日落时变化较慢,在日中时最快。上午和下午,高度角和方位角的变化符合相同的规律,即介于日出或日落时的速度 与 日中的速度 之间。方位角速度最快和最慢之差达0.25度,高度角速度最快和最慢之差达到0.15度,分别达到太阳视张角的1/2和近1/3,不需要太精密的仪器是可以观察到的。

偏离一下主题。要想观测到这一事实,有个前提,导致在古代无法实施。我们可能想到,角度可以通过放大尺度,即圆的半径,比如把设备换成高大建筑或者山脉这种方法。这样角度可以测量得更精确。固定地点,以固定经度和纬度,这使得经度和纬度不需要精度。

然而,在这一事实的观测还有一个物理量,测量起来如此简单和精确,以至于我们甚至难以觉察到做过测量。但是没有这个物理量,或者精度稍低,整个测量就都不可能完成。

时间!我们上述数据中,精确到分钟。在古代,分钟,即每天的1/1440这种精度的时间,是不可信任的,至少不比太阳可信任。如果太阳是必须信任的,那么,就是信仰。质疑信仰,你就是坏人。后面不必讨论了。

回到正题。以上数据相当于实测。事实表明,日出、日落、日中的方位角变化,不是匀速的。事实顺便可以看出,不仅方位角,连高度角也不是匀速的。即使太阳在行经太阳轨迹时角速度恒定。

即使我们不知道为什么,不知道原理,甚至不知道每年365天中是不是只有我设置的那一天,甚至5千年里只有那一年的那一天才是这样——即使如此,事实仍然说明,在误差范围内,在可观测的精度下,太阳的方位角角速度不恒定。

(5)原理

原理就是倾斜平面的投影。具体原理是一顿三角函数,以及变化率。超出我的解释能力了,因此以下只给出一个例子。

假设地点为北纬42度附近,1月1日前后,所以太阳在日中时的高度角为25度左右。

如下图所示,我们用 geogebra 构造出符合天圆地方世界观的图。蓝色的天空,绿色的是大地。我们依据25度画出太阳轨迹的平面。金黄色的是太阳轨迹面,太阳在此经过。

我们在日初时分,即图的左侧,在太阳轨迹上划出10度。在日中时分,即图的右侧上方,在太阳轨迹上划出10度。这俩角度是相等的,只是因为拍照的角度,看起来日出时的10度的弧度要小一些,是相等的。

我们看日中时分,太阳在太阳轨迹前进10度。在这种情况下,高度角的变化和方位角的变化分别有多大。如下图所示,高度角变化-日中,太阳轨迹10度。

高度角的测量,是 中心点至太阳 和 中心点至太阳在大地上的投影 两条射线的夹角。

在图中可以看到,日中时,高度角(在图中这两个角是“竖立着”的方向)分别为24.73和25.15,
即高度角变化为25.15-24.73=0.42度。

方位角的测量,为太阳在大地上的投影,与 中心点/我/观察者 所形成的的连线这一射线 与 正北之间的夹角。所以方位角的变化,我们可以通过测量两次太阳的投影分别与中心点连线,这两条连线间的夹角。

如图下所示,我们可以看到,方位角的变化为11.09度。这个角度在大地上。

以相同的方法,我们测量日出或日落时的高度角变化、方位角变化。下图,日出时太阳轨迹上的10度。

如下图所示,在日出时,高度角由0度行至4.27度,所以高度角变化为4.27度。

如下图所示,日出时,方位角由变化为9.22度。

总结得到如下表格。

日出 日中
方位角变化 9.22 11.09
高度角变化 4.27 0.42
太阳轨迹上的角度 10 10

太阳每小时在轨迹上转过15度,因此10度对应的时间为10/15小时即2/3小时,合40分钟。转换为平均1分钟的方位角和高度角变化。如下表。

日出 日中
方位角变化 0.2305 0.27725
高度角变化 0.10675 0.0105

(6)结论

还记得我们根据实测数据画的 chart 么,就是下面这个。

我们只取日出和日中,求时段接近的每组4个差(或差的绝对值)的平均值。得到下面的表格。

日出 日中
方位角变化 0.1675 0.255
高度角变化 0.1575 0.0025

对于(根据天文数据)实测和在Geogebra上测量结果略有差异,可能来自初值和我测量的误差。我在绘制 geogebra 时未能保证精确,有点移动了,人懒,没有重做。根据勾股定理复原一下场景,方位角9.22当为9.04左右,每分钟0.226度。仍大于天文数据实测得到的0.1675较多。

尽管存在差异,我们仍可以看出相符之处,数据表现出下述规律。

第一,日中时 高度角变化缓慢,日出时 高度角变化较快;

第二,日中时 方位角变化较快,日出时 方位角变化 缓慢。

此前讨论过大气偏折造成的影响,当时没有特意区分影响的是在太阳轨迹上的角度,高度角,还是方位角。在日出前后,这种影响主要在高度角上,对方位角影响不大。

所以回到 美杨杨的张先生 (https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17)提到的

>日出没时高度角变化快方位角变化慢,日中天时相反

美杨杨的张先生 的结论与上述实测和geogebra测量一致。

日出 日中
方位角变化
高度角变化

回到问题上。

“一天中太阳方位角的变化速度一样吗,是不是日出和落时更快?”

是的,一天中太阳方位角的变化速度不同。

(太阳方位角变化)不是日出和落时更快,相反,是日出和落时更慢。

 

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