这是系列帖子的下半部分，此前还有一篇。这两篇共同的主题是 改变向量的基——使用 geogebra 演示。
帖子的缘起是我最近读了一本书，书名《程序员数学》，作者 Paul Orland，https://book.douban.com/subject/35689348/，下面图示中的这本。微信读书APP可以免费阅读，排版尚可。
书里涉及到线性代数、高等数学、数值计算、神经网络等的初步，都用python代码实例介绍的，直观，能帮助理解理论知识，适合作为计算机导论的补充素材。自己参考做实验也挺好玩的，比如线性代数中关于直线相关和向量换基底的这部分，我用 geogebra 重新实现了一遍。
3. 改变向量的基底
已知两个条件。其中一个条件是，有个向量，比如从原点到坐标（4，2）的点；另一个条件是，如果换一个基底，这个向量在新的坐标系下会是从原点到哪个点呢？或者说，这个点（4，2）在新的坐标系下的坐标是什么。
书中给的例子是下面这个。
条件一，如果向量在当前坐标系下为 (4,2)。
条件二，新的坐标系是这样的，由两个向量张起，其中第一个向量u1在旧坐标系下为从原点到(1,1)的向量，另一个向量u2为从原点到(-1,-1)的向量。
在u1,u2构成的这个新坐标系下，旧坐标系下的(4,2)的坐标是什么。
3.1 书里的写法，矩阵与基底的关系
书里的写法是这样的，左边的矩阵第1列是u1,第2列是u2。其中的u1和u2分别是新坐系的两个基底。等式的左边是这个矩阵乘以{{c},{d}}这个向量（或者矩阵）。等式的右边是旧坐标系下的向量{{4},{2}}。
可以通过解方程得到c和d的值。在CAS view中操作。
解方程，指定c和d是变量。
得到c=3,d=01。
所以，旧坐标系中的（4，2）在新坐标系中的坐标为(3,-1)。
在图上验证一下。我们指定第一个向量u1的3倍，以及第二个向量u2的-1倍。
看看新坐标(3,-1)与新坐标的两个基底间的关系。
看起来对的，v在新的红色坐标系下，坐标分别对应u11和u22在u1和u2上的投影。
根据《程序员数学》中的例子，总结求 新坐标系下的坐标值的方法，就是解下面的方程，求出c和d的值。
不过这个有问题，看起来 改变基底 就像 线性变换。与上一篇中的 直线相交、解方程 的方法确实非常相似，事实上我刚刚就用了 geogebra 中的 solve 这条指令。不过结果等价，并不意味着原理相同。有不少帖子都指出，改变基底是 换个观察角度，而 线性变换 是在当前空间中操作东西。在《程序员数学》中，对这一区别似乎不太关心。
如果用geogebra画图就会发现，似乎看不出来解这个方程与基底变换之间有什么几何意义上的联系。
如果并非解方程、直线相关的话，那么原理是什么呢？
3.2 支线 线性无关-垂直-正交标准基
在讨论原理之前，先简短地补充一条小的支线。书中给出的例子中，u1和u2两个新基底是相互垂直的，点积为0。
在几何意义上也可以看出二者垂直，根据坐标可以确认。
不仅垂直，这两个基底的长度也相同。根据勾股定理我们能求出，长度/模 在旧坐标系中，都是 
，我们可以把这个长度定义为1。
这可能会误导我们以为所有的基底都必须相互垂直、长度为1。这是对 标准正交基 的要求，高于对基底的要求。基底可以不相互垂直，长度也不必为1。只要不能由基中一个基底线性推导出另一个基底，就行了。
也许我读书不细，作者可能提到了，我跳读没注意。聊此备忘，免生误解。
3.3 矩阵的逆，与改变向量的基底的关系
回到正题，书里这个求解新坐标系下的坐标的方法是什么意思呢，什么原理？
之所以看起来有点奇怪，是因为这个写法不完整。有点像数学书里经常遇到的“显然”，跳了几步一定正确的过程，读者容易跟不上思路。
是个向量，它不够完整。我们补充一点东西。
对角线上全是1的对角阵，这个单位阵，是旧坐标系的基底。因为过于熟悉，我们几乎注意不到它的存在。我们看一下它的含义。
所以， 
完整的写法是 
。
这种写法我们见过，就在下面这个等式的左边。
所以，等式的完整写法是下面这样。
等式左右两侧都是——基底构成的矩阵 左乘 向量，左乘的结果是向量。
求解c和d，即在新坐标系下的向量的过程，相当于等式左右两边分别左乘 新基底构成的矩阵的逆。得到下面的图示。
等式左侧 {{1,-1},{1,1}}^-1 * {{1,-1},{1,1}} * {{c},{d}} => {{c},{d}}
其中，左侧的两个矩阵为 
，结果为单位阵。
等式右侧 {{1,-1},{1,1}}^-1 * {{1,0},{0,1}} * {{4},{2}}，即
结果为 
。
手动/分步计算等式右侧的话，在geogebra中并无必要，为展示计算过程的原理，我们展开一下。
先是
结果为 
，
然后 
结果为 
。
与此前解方程的结果相同。必然相同，回顾上一篇中 两直线相交、解方程、矩阵解法，是方法上是等价的。
3.4 换个例子，验证
原坐标系中的点 (5.66,1.46)，这是随便点出来的。
新坐标系，第1个基底 (3,4)。为了模长为5而选，原本以为会方便计算，不此必要。第2个基底，是第1个基底顺时钟旋转了90度，得到(4,-3)。
保证正交、长度为1，构成标准正交基。
根据上文中的方法，
求得新坐标系下的坐标为 (0.91,0.73)。
方法一，解方程
或
或方法二，左乘新坐标基底构成的矩阵的逆。
。
验证一下，向量的第1个分量和向量的第2个分量，分别除以基向量，4.56/5和3.65/5，结果正是 (0.91,0.73)。
看上图中，在旧坐标系中的(0.91,0.73)的位置相对于旧基底，可以看出与新坐标系下向量相对于新坐标系基底的关系，这两个关系是相同的。
