3. 画函数曲线，效果
在这一部分中，我们将做出结果如下面的效果图所示。使用的工具是 geogebra。可能需要Excel，并非必需。
用傅里叶级数5级“拟合”类似三角波的函数图形。这个函数是随便选的，在后文中能看到，改变成其他函数图形很容易就能能画出来。
在效果图中，紫色的是待“拟合”的函数，上面的深紫色点代表傅里叶级数之和在函数上的位置。傅里叶5个级数的圆，分别用 红、橙、黄、绿、蓝 表示，圆周上的点与当前级别的圆同一颜色。
5个圆间具有如下关系。
第1个圆上的点是第2个圆的圆心，
第2个圆上的点是第3个圆的圆心，
第3个圆上的点是第4个圆的圆心，
第4个圆上的点是第5个圆的圆心。
连接蓝点和紫点的水平虚线，其目的是为了能更方便观察大轮套小轮的结果与待拟合函数一致。
严格的说，紫色图形并非待“拟合”的函数，而是拟合的结果。待拟合的函数如下图所示。能够看出下图中的波形与紫色波形之间相似。
3.1 变量
共有3种变量。
第一种变量是 t，即 omiga t 中的 t，自变量，角度。定义如下。
设置为 slide，显示在屏幕上，自动播放。
第二种变量是 d1~d5，分别对应红圆到蓝圆的5个半径。
第三种变量是 theta1~theta5，分别分对红圆到蓝圆的5个初始相位。
在Excel中根据待求数的波形，得到d1~d5和theta1~theta5，如下。
把d1~d5和theta1~theta5的值从Excel抄到 geogebra。
以上，共11个变量，我放在了 Layer 0。
3.2 圆周和圆周上的点
第1个级别的圆周c1和圆周上的点a1分别定义如下，放在了 Layer 1中。
其中圆周c1的圆心为原点(0,0)，是固定值；半径为第1级数的系数d1，在变量中定义了。
圆周上的点a1，其横坐标为在 半径d1 乘以 cos( 自变量t + 初始相位角theta1)。纵坐标原理类似。
除第1级数以外，其余的4个级数有相似的规律。以级数3为例，我把圆周和圆周上的点放在了 Layer 3中。
其中c3是圆周，（1）以前一级数的圆周上的点a2作为圆心，（2）半径为本级数的系数d3。除第1级数以外，其余的4个级数的共同规律是 圆周的圆心都是前一级数圆周上的点，半径为当前级数的系数d_k。
这里a4是第3级数圆周上的点，其横坐标为 在前一级数圆周上点a2的横坐标的基础上偏移 半径d3 乘以 cos( 自变量t + 初始相位角theta3)。除第1级数以外，其余的4个级数的共同规律是 横坐标都在前一级数的圆周上的点a_(k-1) 的基础上偏移，偏移量为 cos( 自变量t + 当前级数初始相位角theta_(k-1))。纵坐标有类似规律。
在下图的示例中，黄色3代表当前级数，红色2代表前一级数。
这样，就得到了以下元素，如下图所示。
5个圆的半径
5个圆的圆心
5个圆上的点
这是整个项目的核心部分。
3.3 作为背景对比的函数图像
声明如下函数。
每个级数都有 d_k*sin(x+theta_k)组成，这5个级数累加之和为f(x).
设置为紫色，得到了下图，与此前的5个圆叠印在屏幕上。
函数上的点，按下图定义。
其中的t即此前声明的变量t。
设置为紫色，如下图所示，红色箭头所指 紫色曲线上的点。
水平线，按下图定义。
设置线型为虚线，减小粗细，如下图红色箭头所指处。
水平虚线指示函数上的点的纵坐标。
3.4 大轮套小轮-函数曲线横向展开，对比
这一小节只包含解读，不是步骤之一。
水平虚线的纵坐标，与5个圆中第5级数圆周上的点的纵坐标，与函数上的紫色点的纵坐标，三者在动图中始终保持一致。如下图中的4个子图分别所展示的，函数曲线上的紫色点纵坐标始终与第5个圆周上的蓝色点始终保持相同。
因此左侧大轮套小轮的5个圆 与 右侧函数曲线的横向展开 是一致的。
4. 极坐标形式-原位轨迹跟踪
在变量t的settings中，设置增量和重复的方式，这样较易观察到现象。
按t的播放按钮。
得到下图，第5级数所刻画出的极坐标形式点的轨迹。这条轨迹沿x轴展开，对应紫色的函数曲线。如果我们站在原点(0,0)位置向外看，这颗在 均轮-本轮 上的蓝色星球，它所运行的轨迹时快时慢。
我们大胆地修改d1为更小的值，例如d1=2.053836824，可以得到下图。
两个红色箭头所指的地方，站在原点（0，0）看来，星球在自东向西（在北半球向南天看，即顺时钟）运行时，突然回头改为自西向东（逆时钟），过了一段时间，又恢复为自东向西（顺时钟）。可能，古人就会震惊这颗星球轨迹奇异，显然不是运行在球形天穹上，把它命名为荧惑吧。在右上角附近，还能看到这颗星球会停下来几天，是在等候什么大事发生？
5换个函数
我们很容易就能换个函数图像来画，例如下面的波形。
用Excel求得傅里叶系数如下。
把上述系数赋值到geogebra……
这个操作过于繁琐，我们想个快捷的办法。
复制上图，然后 选择性粘贴。先按 数值 粘贴，再 转置。得到箭头所指的区域。
复制箭头所指的区域，贴到记事本中，简单编辑，加等号得到下图。
再从记事本中复制，备用。
在Geogebra 中增加控件 按钮。
把caption改为“换函数”。
这个按钮的Settings | Scripting | On Click，把刚才从记事本中复制到的文字粘贴在这里。
关闭Settings，点击换函数，函数曲线以及系数更换完毕。下图中，左边是 geogebra中的效果，右边是Excel中原函数的曲线，差不多吧。
再换一个。
重复上述步骤，得到下图。
再换一个函数。
得到下图。
