(1)问题

这是在知乎上看到的问题。链接在此

一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？ - 知乎

https://www.zhihu.com/question/616149596

草率地想，当然啊，当然是匀速的。因为太阳在天空中划过角度的原因，来自地球的自转。在相当高的精度下测试，地球的自转都可以视为匀速。太阳初升到再初升，这是一个太阳日。同一星座，比如猎户，从初升到再初升，这是一个恒星日。二者略有不同，不过这个差异是恒定的，因此并不影响太阳划过天空时，单位时间的角度，也就是角速度，对角速度没有影响。

然而，对“当然”二字要格外小心。

我们忽略误差，假设太阳划过天空的角度是匀速的。然而误差真的可以忽略吗，即误差对肉眼无法察觉吗？

(2)误差存在

如果没有大气层的偏折，大阳划过天空的角度保持恒定，每小时 360/24=15度。

但是，由于大气偏折光线，导致肉眼所见太阳扫过的角度，在日出和日落前后比日中时要大。

参见 为何在日出前，日落后，我们仍能看到太阳？。链接在 https://k.sina.com.cn/article_1808449333_6bcabf3500100goid.html 。

里面有张示意图，转引如下。

在非日出或日落的时间段里，在太阳的高度角较大，即更垂直于地面时，偏折的角度更小一些。

在日出和日落时段附近，光线偏折导致肉眼所见的太阳扫过了更大的角度范围，所以高度角变化速度更快。

这个误差有多大呢，是否能被肉眼觉察？文中提到，在明显的地点在赤道，大气偏折导致我们在日出时提前大约2分钟看到太阳。2分钟，太阳划过的角度是 2/60*15=0.5度。肉眼所见太阳的视角刚好是0.5度。也就是说，偏差达到1个太阳的张角那么大的。借助不太精密的设备，再降低光强对眼睛充分保护，肉眼是可以看到的。所以，这一误差不能忽略。

(3)发现错误

答完以上，发现 美杨杨的张先生 （https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17）提到

>日出没时高度角变化快方位角变化慢，日中天时相反

我还没有细想他说得对不对，但是！我审题不认真啊。答非所问，结论完全错误。

原题问的是什么？“一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？”讨论的是哪个物理量？方位角。

方位角是什么，大阳在大地上的垂直向下投影、与我即观察者作为夹角的尖儿、以及正北之间的夹角。要投影啊。

我答的是什么？我答的一直是 太阳在天空中划过的角度。那是什么角度，那是如下图所示，太阳在黄色的平面上经过的角度。

题目问方位角是否匀速，我答了在太阳轨迹上的角度匀速。答非所问。

到这里，我们还不能知道，在太阳轨迹上太阳行过的角度匀速的假设下，是否能推得方位也是匀速的。但是，假设两个不同概念的值是一致的，这是不明智的，更何况这投影明显有角度存在，不是平行投影，两个值一致才怪。

(4)度量，实验检验

这时，简单地做法是 既然对事实有争议，那就测一下好了。支起天文望远镜，支起史前巨石柱，还有各种上古或现代的设备……等等，这样相当花时间和成本。已有的测量数量是可以用的啊。

随便找一个网站，能根据指定 时刻，给出 太阳高度角 和 太阳方位角的。比如https://www.osgeo.cn/app/s1904。

如下图所示。指定经度，纬度，随便选了日期（以上在红框中）。给定一个时刻（在绿框中，在整个实验中要改变多次），点击计算按钮，得到一组天阳高度角和太阳方位角（在下方的两个红框中），记下来。

这样，如下图所示，我设置了5个*5组时刻（在红框中），组间内隔1分钟。得到了对应的高度角和方位角（在绿框中）。这5组数据分别是日出、上午、中午、下午、日落时分。

求出高度角之差的绝对值。考虑到高度差的变化可能为正，日出和上午，也可能为负，下午和日落。而题目关心的变化率应该对正负不敏感，所以对差取了绝对值。

求出方位角的差。

高度角的差和方位角的差都列在表中，根据数据画图，得到以下 chart。

其中蓝色的，表示高度角的差的绝对值，橙色的，表示方位角的差。在上图中我们可以看出，高度角的变化速度，在日出和日落时较快，在日中时最慢；方位角变化，在日出和日落时变化较慢，在日中时最快。上午和下午，高度角和方位角的变化符合相同的规律，即介于日出或日落时的速度 与 日中的速度 之间。方位角速度最快和最慢之差达0.25度，高度角速度最快和最慢之差达到0.15度，分别达到太阳视张角的1/2和近1/3，不需要太精密的仪器是可以观察到的。

偏离一下主题。要想观测到这一事实，有个前提，导致在古代无法实施。我们可能想到，角度可以通过放大尺度，即圆的半径，比如把设备换成高大建筑或者山脉这种方法。这样角度可以测量得更精确。固定地点，以固定经度和纬度，这使得经度和纬度不需要精度。

然而，在这一事实的观测还有一个物理量，测量起来如此简单和精确，以至于我们甚至难以觉察到做过测量。但是没有这个物理量，或者精度稍低，整个测量就都不可能完成。

时间！我们上述数据中，精确到分钟。在古代，分钟，即每天的1/1440这种精度的时间，是不可信任的，至少不比太阳可信任。如果太阳是必须信任的，那么，就是信仰。质疑信仰，你就是坏人。后面不必讨论了。

回到正题。以上数据相当于实测。事实表明，日出、日落、日中的方位角变化，不是匀速的。事实顺便可以看出，不仅方位角，连高度角也不是匀速的。即使太阳在行经太阳轨迹时角速度恒定。

即使我们不知道为什么，不知道原理，甚至不知道每年365天中是不是只有我设置的那一天，甚至5千年里只有那一年的那一天才是这样——即使如此，事实仍然说明，在误差范围内，在可观测的精度下，太阳的方位角角速度不恒定。

(5)原理

原理就是倾斜平面的投影。具体原理是一顿三角函数，以及变化率。超出我的解释能力了，因此以下只给出一个例子。

假设地点为北纬42度附近，1月1日前后，所以太阳在日中时的高度角为25度左右。

如下图所示，我们用 geogebra 构造出符合天圆地方世界观的图。蓝色的天空，绿色的是大地。我们依据25度画出太阳轨迹的平面。金黄色的是太阳轨迹面，太阳在此经过。

我们在日初时分，即图的左侧，在太阳轨迹上划出10度。在日中时分，即图的右侧上方，在太阳轨迹上划出10度。这俩角度是相等的，只是因为拍照的角度，看起来日出时的10度的弧度要小一些，是相等的。

我们看日中时分，太阳在太阳轨迹前进10度。在这种情况下，高度角的变化和方位角的变化分别有多大。如下图所示，高度角变化-日中，太阳轨迹10度。

高度角的测量，是 中心点至太阳 和 中心点至太阳在大地上的投影 两条射线的夹角。

在图中可以看到，日中时，高度角（在图中这两个角是“竖立着”的方向）分别为24.73和25.15，
即高度角变化为25.15-24.73=0.42度。

方位角的测量，为太阳在大地上的投影，与 中心点/我/观察者 所形成的的连线这一射线 与 正北之间的夹角。所以方位角的变化，我们可以通过测量两次太阳的投影分别与中心点连线，这两条连线间的夹角。

如图下所示，我们可以看到，方位角的变化为11.09度。这个角度在大地上。

以相同的方法，我们测量日出或日落时的高度角变化、方位角变化。下图，日出时太阳轨迹上的10度。

如下图所示，在日出时，高度角由0度行至4.27度，所以高度角变化为4.27度。

如下图所示，日出时，方位角由变化为9.22度。

总结得到如下表格。

	日出	日中
方位角变化	9.22	11.09
高度角变化	4.27	0.42
太阳轨迹上的角度	10	10

太阳每小时在轨迹上转过15度，因此10度对应的时间为10/15小时即2/3小时，合40分钟。转换为平均1分钟的方位角和高度角变化。如下表。

	日出	日中
方位角变化	0.2305	0.27725
高度角变化	0.10675	0.0105

(6)结论

还记得我们根据实测数据画的 chart 么，就是下面这个。

我们只取日出和日中，求时段接近的每组4个差（或差的绝对值）的平均值。得到下面的表格。

	日出	日中
方位角变化	0.1675	0.255
高度角变化	0.1575	0.0025

对于（根据天文数据）实测和在Geogebra上测量结果略有差异，可能来自初值和我测量的误差。我在绘制 geogebra 时未能保证精确，有点移动了，人懒，没有重做。根据勾股定理复原一下场景，方位角9.22当为9.04左右，每分钟0.226度。仍大于天文数据实测得到的0.1675较多。

尽管存在差异，我们仍可以看出相符之处，数据表现出下述规律。

第一，日中时 高度角变化缓慢，日出时 高度角变化较快；

第二，日中时 方位角变化较快，日出时 方位角变化 缓慢。

此前讨论过大气偏折造成的影响，当时没有特意区分影响的是在太阳轨迹上的角度，高度角，还是方位角。在日出前后，这种影响主要在高度角上，对方位角影响不大。

所以回到 美杨杨的张先生 （https://www.zhihu.com/people/zhang-nan-60-41-17）提到的

>日出没时高度角变化快方位角变化慢，日中天时相反

美杨杨的张先生 的结论与上述实测和geogebra测量一致。

	日出	日中
方位角变化	慢	快
高度角变化	快	慢

回到问题上。

“一天中太阳方位角的变化速度一样吗，是不是日出和落时更快？”

是的，一天中太阳方位角的变化速度不同。

（太阳方位角变化）不是日出和落时更快，相反，是日出和落时更慢。

 

2018年曾经写过一个系列，回顾自2008年起保持俯卧撑锻炼开始的历程，题目叫做锻炼十年。而今2023年，又五年过去了，有想增补的内容，仍放在这个系列中。虽然15年矣，为保持题目一致，还是叫做锻炼十年吧。反正，多出的五年，也没有多少进步。

这一篇谈伤痛。

（1）

即使持续锻炼，我所受的伤痛也算少的。

一个原因是我所做的大都不剧烈，特别是最近几年几乎完全排除了爆发力的训练以后。小学四年级开始，每次见眼科医生都会受到叮嘱，“不能做爆发性动作，不能受突然打击。”不然的话，可能导致视网膜剥脱。所以，我刻意避免了所有的对抗性运动，足球、篮球什么的。一般的情况下，可能只不过是积极对抗，或者稍微一不小心。对我来讲，可能后半辈子会非常不方便。视网膜剥脱是高度近视特有的危险。因于眼内压高，眼轴前后拉长，视网膜本来也处于岌岌可危的状态。一旦发生就失明了，虽然可以修复，但是非常麻烦。要脸朝下俯卧不动长达一个月（？）之久，一动就前功尽弃。在成年以后，经常遇到朋友同事对医生的交待不屑，“别什么都信大夫的，他们就吓唬人。”然而，每次都是相同的叮嘱，书上也是这样说的。而且，觉得无所谓的这些人里，没有一个可以替我承担。所以，可能受突然击打和需要爆发力的体育运动，我都避免参加。也因此受伤的机会少了很多。大学的时候，同学们踢足球打篮球，每次受伤的时候我都乐，“运动才会受伤，我不运动也从来不受伤。”

另一个原因是训练的理念。是哪本自重训练的书告诉我来着？拿不起来就别拿，抓不起来就别抓。不要使用爆发力，缓慢推拉。缓慢推拉对提高力量（也许还有增大维度）本身也是有帮助的，并且可以减少拉伤。

包括太极拳在内的动作要领，都包括先慢。对于锻炼而言后快不那么重要。通过缓慢的动作体会动作要点，哪块肌肉在什么时机发力，哪个关节在什么时候哪个受力。类似精读文章、做实验、练琴，亲身体会时没有办法滑过去。不借助重力，不借助惯性（冲量），纯靠自身肌肉，尽可能使用预期发力的肌肉。这些都要求慢，只有慢才能感觉清楚。练了几十天以后，经常发现，咦，这里还有个扣儿，又捋顺一个地方。

最重要的原因是，伤痛实在太费时间了。

一旦受伤，会有相当多的动作没法训练。拉伤的肌肉或关节本身不能发力，不能作为目标肌肉训练了。作为拮抗肌的训练也只能暂停。简直难以想像，人体居然是这么精密复杂的机械，内部耦合得如何密切，哪怕一个小地方受伤，几乎全体的训练都受到影响。更不用说像腰部这样的枢纽。暂停训练，会破坏计划，还会让原本正成长的部分搁置甚至衰退下去。小伤一周，稍微重一点的拉伤挫伤，一个月到三个月。年龄越大，需要的恢复时间越长。所以，宁走十步远，不走一步险。所以，活得长全靠胆小。只要不受伤，即使今天练不明白，明天也还能练。想起当年打游戏暴力摩托，屡败，几乎要放弃。二猫妈说，你别打那些NPC，冲过去。果然，只要不倒，就能轻松取胜。背单词，有时候想提高速度，也发现——不出错，是速度最快的方法。宁可降低速度，只要不出错，总的速度就最快。

爆发力，或者超出力量上限的重量，贸然尝试没做过的姿势。冲击数量或重量。这些都可能会受伤。身体疲劳，头脑不清楚，正在生病，这些也会加大受伤的可能。需要小心。

以下，是记录所受伤痛，包括训练带来的，也包括平时姿态不良的后果。还有自行作死的。

（2）脖子

不是运动的结果，我颈椎本来就不好。因为视力弱，所以看显示器的时候身体前倾，脖子再探。脖子在端肩的基础上，还向后折了一下。专注阅读和写东西的时候，其他的感觉都下降了，伤害逐渐积累到相当的程度才意识到。当年洗头时头疼，歪头也疼，颈椎按起来像有一包水，颈椎有一节的感觉按下来的手指上有刺。左右一歪头脖子里面喀卡响。

后来，我练瑜伽的 展臂功，就这一个动作。一天也就练个三次，一组。后来脖子好了。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/22593099?utm_id=0

展臂功用到的主要肌肉应该是斜方肌，同时可能缓解了颈部肌肉。斜方肌感觉上是为肩胛服务的，但是它的疲劳导致了脖子疼。人体的运动系统远比我想像得复杂，这是我练展臂功治了脖子最大的体会。

后来练引体向上，还有 俯卧直臂支撑 沿矢状面（从正面上举）持哑铃上抬手臂至与身体平行。这两个动作，有时不小心动作没有注意发力的顺序，或者动作走形，或者数量或重量过大，都有过导致过脖子酸疼，当天可能落枕，持续一周。现在我在做完以后感觉一下，如果不非常好，那就加练四向点头，特别是左右单侧沉肩向另一侧抻脖子。不用手助力，仅仅拉伸。感觉能缓解。

（3）肩

引体向上不仅可能伤脖子，还伤肩胛后面。有一段时间我追求数量，并且希望快点突破，在底端爆发性用力拉起。经常导致肩胛后面疼，感觉是上背部疼痛。有那么几块肌肉，我分不太清，大约是大圆肌、小圆肌之类的，总之是稳定肩胛用的。

拉起以前，先使肩胛达到指定位置，下沉，后夹（称为内收？），保持住。然后再发力拉起。如果不能形状开了，那么再来一次，先肩胛动作，然后保持住。如果保持不住，或者肩胛后夹做不到，那就离受伤不远了，应该休息。

不要使用爆发力拉起。可以快，这样能省力，但是不能突然。肩胛放松，沉到底，甚至两肩靠近耳边，发力行程更长了，但是肩胛和背阔肌同时发力，我的感觉是更容易受伤。

这个原则可以推广一些，即小肌肉用于固定，大肌肉作为主动肌主要发力；小肌肉先动作，保持，等长，大肌肉再发力。如果大肌肉已经动作了，小肌肉不可能再有力量改变姿态。在力量举的书里，也旁证了这一推测。

如果拉起时肩膀响，伴有轻微不适或者轻微疼的话，我的感觉也是因为小肌肉发力没有结束，姿态不能保持。宽握引体向上时，我目前经常有这种情况，通过收紧肩胛导致后仰躯体可以解决。深蹲时也一样，膝盖响或疼，通过小腿扭转的趋势，大腿内夹的趋势或外张的趋势，能解决。

左肩疼了很多年，按压后能缓解一阵儿。后来发现，坐着看文章或网页时，为了省力，我的左肘几乎总是搭在桌上，受键盘阻挡小臂与桌子边缘平行。这导致肩胛后侧持续 过拉伸。

能够发现左肩疼的原因，可能跟长期锻炼之后感觉更加敏锐有关。这是健身群里的大神 饭后老打嗝 或 Zack说的。不然即使天天去感受，也可能感觉不到。

在同一问题中，锻炼的经验对于姿态的矫正也起了作用。想起来就把左肩扳回来，而不是内疚自责。刚开始偶尔能注意到，那么能注意到多少次就算赚了。后来慢慢经常注意到，再后来不需要刻意注意也能保持不向前探左肩了。左肩的疼痛消失了，只有在偶尔长时间阅读屏幕的时候才犯，那时需要的不仅是注意而是间歇了。

右肩在引体向上的时候才发现问题。不刻意后夹的时候会向前探，可能是由于后背或肩胛的肌肉不如胸肌发达，所以拮抗牵引的结果就是有点圆肩。不用力时还好，用力的时候，比如引体向上数量稍微多点，或者引体向上时负重，或者直臂上举向后，或者面拉，右肩的角度不对，没有充分下沉和后夹，会导致响声或者疼。这个不仅需要刻意注意姿态，先固定姿势才发力，而且需要慢慢锻炼右肩后侧的肌肉。还在努力中。

因为常年用计算机，还有引体向上握住以后下拉，也有类似网球肘和鼠标手，有的时候也会有。因为经常关注状态，所以发现了休息一下，就好了。经常关注，是锻炼带来的直接效果。

七八年以前手腕常疼。认识我年头多的同学，会注意到我那时一直戴着护腕，有时是拆下来的线衣袖子，这个感觉最好。XL同学提醒我用引体向上或悬挂帮助腰椎，结果引体向上进步不大，因为握力（也许还有腕屈和腕伸）提高，手腕不疼了。这个故事告诉我们，很多关节的疼痛来自肌肉力量不足。

（4）腰

还是因为近视，不仅向前探脖子，而且以胯骨（上缘还是下缘？）为轴，上半身前倾。腰的负担非常大，长期受到剪切力的作用。

又，我的关节延展度先天好，经常玩儿直腿体前屈。终于有一天玩脱了，我觉得是这个原因。直腿体前屈以后，第二天早晨第一次腰突。想来可能早有征兆，也许早就犯了，但是我并不知道。如果更早就是腰突的话，那么当年坐在软床上，以为是腰扭了，可能才是第一次腰突。

总而言之，腰突并不是运动带来的结果，而是姿态不良之类的生活习惯导致的。锻炼对腰突以后的生活有帮助。

虽然由于腰突，对于前倾上半身的动作都要格外小心，甚至干脆就跳过不做，但是锻炼对腰突有帮助。一方面，温柔地训练加强了腰部附近的肌肉，有利于稳定腰椎。另一方面，锻炼提高了感受的敏锐程度，更容易意识到“不好，季节有变”或者“有点疲劳，离腰突不远矣”。能更早，在更轻微有预兆的时候就开始休息。

练平板撑，恐怕长至第七八年。如果算上俯卧撑的话，15年了。我才注意到在平板撑这一类姿势中，骨盆后倾，用腹肌发力，避免腰肌代偿。联想到武术动作里略微小腹突起什么的，感觉打开了一扇大门。充分体会到活到老、学到老，底层有无限空间无限细节可供玩味。

（5）大腿

练靠墙倒立的时候，因为空间大腿受伤。练倒立需要有足够的空间。

上下的空间要够。倒立的高度相当于双手过顶举直臂，这需要2米左右高度。靠墙倒立，需要有一面墙。也就是说，门不行。因为门框的高度不够两。保证倒立时脚踢到门框以上，对动作需要有格外的要求。锻炼，而不是练得纯熟显摆的话，要留有充分余量而不要另外限制。危险。左右和身后的空间也要够，需要保证倒下来的时候可以不被阻挡，脚就能踩实地面。不然也危险。

我练靠墙倒立的时候倒向右方，那里是个一米高的铁架子。大腿青了块，就像被棍子斜着实打到。好在没有骨头没有事。印象里花了好几个月，印子才逐渐退下去。

还是大腿，用木棍当剑挥劈的时候，姿势不对，劈在了大腿上。疼！所以后来在网上看到有人提醒说练刀剑的时候要小心，有人表达了不屑。我想，如果当时我用的不是木棍，而是刀，如果再开了封……嗯。

大腿的这两次伤痛，都是运动伤害，作死的结果。

（6）膝盖

初中的时候家里盖了新房子。为了结实，地基石足有一米高。当时我们都不懂，我就靠窗户看书，右膝靠近地基石。可能只一个冬天？我的右膝从那以后经常疼。前几年用核磁共振检查了一次，结果是 没大事，保守治疗。

选不太费膝盖的动作，加强膝盖周边的肌肉。还在努力中。现在验证了的是，在深蹲等动作中，也包括主要单腿发力的动作，令小腿和大腿均有扭转的趋势（并不真的转，而是绷紧），对缓解膝盖疼或响都有用。另外 ，注意大腿后侧参与发力，因此可能调整了角度，也有帮助。

有次送毕业生团建，打真人CS。在山坡上来回跑，一脚踩到坑里，膝盖当时有点疼。疼了半年，做俯卧撑的时候小腿向前发力的时候难以保持。这个故事告诉我，非常多的肌肉与各种动作错综复杂地联系在一起，俯卧撑居然需要肌四头肌，也因此需要膝盖。好好的时候，根本不会注意到它存在。

膝盖的老伤，算姿态不良。后来那半年，算运动伤害，作死的结果。

（7）小腿，脚踝，脚

小腿后侧鼓起个包。相当长时间我觉得那是静脉曲张，毕竟教师职业和年龄，还有喜欢徒步都会导致高发。后来有天突然想起来，可能根本不是静脉曲线，而是弹力带撸的。作死的结果。

当时的动作是把弹力带一端固定在面前的高低柜腿上，另一端卡在脚踝上，后踢腿。秃鲁了。当时紫了一块，怀疑静脉曲张以后很久才意识到，就是那里。

脚跟（滑囊炎），脚踝，脚掌和脚拇指都受过小伤，几乎全是夏天非常热徒步的时候，头脑不太清楚，在疲劳的时候动作没有控制好。

（7）发烧，腹泻，新冠

几乎都不是运动导致的，但是可能由运动加重。

新冠最吓人。目前看，根据心率和感觉，两次发作，每次之后一个月以上，应该更久，不能恢复到发作前的强度。

（8）意外的好处

年轻的时候，为头皮挺烦的。也听说过各种洗发精，还有什么，洗头的东西，也试过不少。理论上，有说是血热的，有说是真菌吃头皮的，不一而足。

最好的办法是 每天洗，就没有头皮了。

气候干燥的原因，如果天天洗澡，皮肤会干，多数人会皮子紧（字面意思，不暗示熟皮子），会痒。而且由于缺水，以前并没有天天洗澡的习惯。但是锻炼之后出汗实在太多了，所以天天洗，头皮也没了。

（9）危险

即使我做的多数是自重训练，也用哑铃这种小重量的，但是仍有危险。有过闭气时眼前一黑的时候。有过心脏咯噔一下，我心想哎呀不好。都没事。有过并非正锻炼的时候，心律不齐。先是感觉心慌得奇怪。用手环一测，心率相当低。二猫用手一搭，说，每跳几下，有两下跳得非常弱。好在都是一过性的。不过，我在锻炼的时候尽可能注意，不要闭气。推不起来就不推，举不起来就不举，拉不起来就不拉。

设备翻倒之类的有危险。引体向上架子，我的没有掉下来，但是在视频里看到过。二猫妈要求我不得做双腿抬起的动作，不然就把架子拆了。确实相当危险。

卧撑，我始终不敢做。到目前为止，图书馆翟老师保护的，我只做过一次。

群里的 饭后老打嗝 的锻炼方式是举铁，他提到小重量有些特有的危险。因为重量小，所以可以靠其他肌肉代偿完成动作。时间久了，会劳损。我怀疑，引体向上时我拉伤肩胛后侧，就因为代偿能解决，才经常弓背拉伤的。如果代偿也拉不起来，只能专注正确的发力姿势了。

1. 故障现象

我的显示器莫名其妙出现了个现象。本来，手指轻按电源按钮，显示器就会关掉。电源按钮，就是显示器右下方，如下图所示箭头所指的黑色突起，左数第5个。以前按完以后，图中的蓝灯灭，显示器也同时黑。

现在，轻按电源按钮，蓝灯不灭，显示器不黑。显示器正中央出现提示，如下图所示。“电源 按钮 锁住了”。

隐约有印象锁过。但是印象模糊，也不记得如何锁，更不知道如何解锁了。这个功能看起来不错，所以这不是 bug，而是厂商的特性吧，undocumented。

在网上一顿搜，看到HP和Dell的显示器有人问有人答。试了各种方法。什么长按10秒，长按20秒，还有说15秒、30秒的，都无效。有的说，说找 能源 菜单，禁用OSD，诸如此类的，没有菜单、没有菜单项，甚至有的没有那个按钮。还有联系售后客服……嗯，这是个万能解决方案。但是一想到电话以后，要被从最幼稚的问题问起，没有个把小时拆腾不下来吧。

2. 解决方案

瞎试试出来的。

参见下图。

第一步 按住1键不抬起，此时显示器右下角会显示菜单，不必处理这个菜单；

第二步 保持1键按住，快速按“下箭头”钮1次，就是下图中绿色箭头指向的那个按钮；

第三步 保持1键按住，按“下箭头”按钮，显示器上会显示Unlocking

Power Button，并有进度条和数字。保持按住10秒。

解锁完毕，显示器正中央显示下图。

此时，轻按电源按钮，蓝灯灭，显示器黑。

3. 怎么锁住的？

操作方法与解锁完全相同，除了进度条上的文字，以及最后加锁成功的文字。如下图。

这样就锁住了。

想起了王朔写道：杜梅是个什么样的人？就是那种夹克你穿过吗，洗了穿穿了洗，穿了多少多少年，打算要扔了，突然发现，欸，这里还有个兜一直不知道。

这种特性，难道不应该非常难以调出才对吗。这就是核武器整俩扳机，不装保险。

4. 其他

不仅电源按钮能锁住，其他按钮也能锁住。其他按钮调出的功能叫做 OSD （on-screen display），译为 屏幕菜单式调节方式（？）。

按住1键保持，快速按“上箭头”按钮，再按住“上箭头”按钮保持10秒。

锁住以后，除电源按钮外，其他的4个按钮，按下去时不起作用，屏幕显示如下图所示。

解锁方式与锁住的操作步骤相同，除了提示信息不同。如下图所示。

10秒后，显示 OSD Unlocked，解锁完毕。

5. 适用范围

我的显示器型号是Dell的 D2421DS，以上测试通过，其他型号不确定是否有效。估计也差不多吧。

记录下来备用，发布出来万一你也遇到同样的问题且没搜到答案。

 

5. 补充1-定量

以上，定性分析表明，长春日出时的方位角在 东西向测地线 以北，因此日出在东北方。

定量分析也对吗？我们以长春夏至日那天日出时的方位角为例。

5.1 测量

下图，是长春正上方俯视。阳光与晨昏线垂直，阳光穿过北回归线（在这个角度上的投影边缘，图中在阳光的路线上、地球边缘的黄圆点），并穿过地心。阳光与东西方向夹角为23度左右。未考虑投影。

立体视角如下图所示，阳光与东西方向夹角为23度左右。在图中可以看到，23度测量自 北回归线与（长春日初时）当地刚好正午的那个地点阳光的交点、长春、长春东西方向测地线三者的夹角，比投影到（或投影后展开？）长春的大地上的角度略小。这是长春夏至日时的日初时的方位角。

考虑一下投影呢？下图中，两个灰色箭头是刚刚测得23度的夹角；两个蓝色箭头是测地线（假设大地是平面）的延伸，夹角32.72度。

5.2 验证数据

在 https://gml.noaa.gov/grad/solcalc/azel.html
查 北纬42度，东京120度，使用东八区时间。之所以不使用长春的真实经纬度，是为了与上一节 测量 中的经纬度以及时刻保持一致。

方位角为 90-57.65=32.35度。

在 https://www.osgeo.cn/app/s1904 查同一时点地点。

302.20-270=32.2度。这个网站也说 方位角从正北顺时针算，但是结果并不是。存疑。

5.3 小结

验证数据32.35度或32.2度，我测量的数据32.72度，可以视为大致相等了。Geogebra绘图测量和根据天文或地理网站上推算的相符，长春日出时的方位角在 东西向测地线 西偏北32度左右。九十度的三分之一，肉眼容易观察到，难以忽视。

6. 补充2-为什么纬度越高，
日出时的方位角越北

为什么纬度越高，日出时的方位角越北呢？

我们回顾下面这张图。长春的方位角，是北回归线（与长春日出时，当地时间正午的那个地点）、长春、东方之间的夹角。

我们增加了一个虚拟的城市，北境。由上图可以看到，北境比长春更靠北。为什么图中画得更向西了呢？因为北境的日落时间更晚。如果保持图中的晨昏线（以及北境日出时，当地时间正午的那个地点）不变的话，即北境与长春使用同一晨昏线。就在长春日出时，北境也同时日出。

我们旋转一下地球，从北境的上空俯视。如下图所示，肉眼可见，北回归线、北境、东（注意这是北境的东，不是长春的东）的夹角，即北境日出时的方位角 大于 长春日出时的方位角。

这个角度有多大呢？用geogebra量一下（与长春一样的，仍然不是北境大地上的角度）。下图，35.02度。

35.02度大于23度。日出时的太阳，北境的比长春的更北。

从上帝视角再看一下。越向北，晨昏线越向西；越向北，东西方向的测地线越“陡峭”；越向北，日出时的方位角越北。

以上未考虑到投影。考虑到投影以后，如下图所示。长春的太阳方位角（太阳、长春、长春的东）32.74度，北境的太阳方位角（太阳、北境、北境的东）49.99度。再向北，再向北，太阳会持续由东、向南、向西，再向北，在你还没有感觉的时候转回东方，白夜。

1. 事实观察

小学二三年级地理课上老师讲到：太阳从东方升起、西方落下。我提出了问题，是*正*东吗？老师说，对，是正东。我问，为什么我看到早晨的太阳都是在东南方呢？老师说，那是因为你起得太晚，太阳已经移到东南方了。所以语文课本里有提到，“太阳升到一杆子高了”。我必须得在太阳刚离开地平线的时候观察，那时才是准的。

类似的疑问在我的读科普书时也有，埃及人如何定义“年”。说，当看到天狼星从地平线升起的时候，尼罗河就会开始泛滥，埃及人把这一天定为一年的开始。到下一次天狼星从地平线升起，这之间的时间间隔，称为一年。然而，我又困惑了。在冬季星空中，天狼星每天都会升起啊。每天升起的时候，都会路过地平线。那么，哪一天才是一年开始的那一天呢？从看到那本科普书以后，这个疑问伴随我阅读每一本这一类的科普书。大家都是这样说的，难道他们都没有疑问，只有我不懂？后来我才知道，也许吧，最初翻译的或者科普的那位作者遗漏了一点儿信息。并非“天狼星从地平线上升起”，而是“天狼星与太阳*一起*从地平线上升起”。由于太阳沿黄道在星座所构成的天穹中的逐日移动，所以，天狼星这一恒星与太阳从地平线上一同升起的时机，全年只有一天。

回到日出的方向。初中二年级，又学地理。当时我正有晨跑的习惯，所以有机会观察到太阳初升时在地平线上的位置。不是正东！

我观察到太阳每天从东北方升起。至少可以断定不是正东，而是东偏北。之所以能确定东北方向，是因为正午时的日影（的反方向）可以定义正南方。正南的180度是正北。正南和正北之间90度，是正东和正西。

太阳不仅从东北方升起，我后来还观察到太阳落下的方向是向西北方，而不是正西。东北人知道，因为向北的窗户被晒得够呛，东西都掉色了。

最近有长春的前辈老师发朋友圈提到，他在傍晚的时候发现在长春正东正西（这可以参见百度地图或者高德地图）的街道上，能看到日影向南指。也就是说，太阳偏北，在西北方。

在网上查一下作为佐证。

长春市2023年夏至日的日落时间，在http://richu.ttvz.com/cha/changchun-20230622.html查到为 19:24。

长春的经纬度，用bing查。

。

在https://gml.noaa.gov/grad/solcalc/azel.html根据经纬度和日落时间，查到6月24日日落时的方位角为 由正北顺时针旋转 284.26度，超过正西(284.26-90*3)= 14.26度。

下图，直观感受一下，西偏北14.2度，俯视图。

2．简单原理

再确认复述一遍观察，北回归线以北的地点，都有机会看到太阳在 北面。太阳初升和落山时，会在东北和西北方，而不是正东、正西，也不是东南或西南。

简单的原理是，越向北的地点，即纬度越高，现象越明显。在北极圈里，夏至日前后（春分和秋分之间）极昼期间，太阳向大约西方落山，越过正西也不消失在地平线下，直至正北再转回来——午夜已过，太阳开始初生，由东北方升起。

以上，是以（众所周知的）极端情况解释一般现象。以下，原理再复杂一点。

北回归线以北，春分和秋分两天，白昼与夜晚时间相等，各12小时。太阳从正东升起，向正西落下，刚好180度。春分以后，秋分以前，特别是夏至日这一天现象最明确，白昼时间长于黑夜。

同时，太阳在天幕中移动的角速度是恒定的。

所以，要想得到超过12小时的白昼，初升至落山，太阳划过的角度必须超过180度才行。白昼和黑夜的时间差越大，太阳在白昼超过180度的角度也要越大。越过180度，就是从正东的北面初升，向正西的北面落下。

还能得到一条与主线关系不大的结论——秋分以后，太阳将从东南方向升起，向西南方向落山，白昼时间短于12小时，太阳初末的方位角之间小于180度。

但是为什么呢，地理书上不是这么说的啊？地理书上还有图呢。

手绘精度这么高的图示，远超出我的能力，求助geogebra。

3. 原理图示

我们先用地球的图示分别定义 东西方向、黎明，然后解释原理。

3.1 东西方向的定义

地球的侧视图如下。下图的视角是，北极点和南极点分别在最上和最下，地球的地轴与纵方向完全重合。

请注意以下3个特别的标注。1.南北方向。在长春本地人看来，所谓南北，是沿当地的经线方向，向北极点的是北方，向南极点的是南方。2.东西方向。在这一点上，长春本地人与上帝视角看地图时通常的感觉不同。上帝视角看地图，我们一般隐约觉得沿42度（长春纬度43，然而42容易记得多）纬线，向左为西，向右为东。但是当地人认为，东西方向应该是直线，而42度纬线是弧形。

如下图所示，绿线是同纬度所指的“东西”。当地人认为的“东西”在通过长春的一条测地线——球上周长最大的弧——上面。过长春一点，地球上有无数条测地线，下图中的红线是测地线之一，是过长春和西班牙北部同纬度地点（和球心）的测地线。过长春的经线也是测地线之一。

那么哪一条测地线才是长春当地人认同的“东西”方向呢？是与“南北”方向垂直的那条测地线。

换个视角，从长春的正上方，也就是从长春本地俯视大地，如下图所示，标注了蓝色“东西方向”的大弧测地线为东西方向。你看，东西方向是直的，不是弯的，42度纬线是弯的，弯向了北方。

调整一下角度，从北极上空俯视，我们可以看到，长春的白昼时间，即晨昏线与42度纬线的交点（“黑夜到来”与P点）之间，白昼部分大于180度（过北极点、南极点的淡紫色面积上缘为180度直线）。

3.2 黎明的定义

我们要讨论的是接近黄昏或者日出的时候，太阳的方位角。不失一般性（哈哈），我们讨论黎明的时候。

什么是黎明？从当地视角看，太阳即将出现在地平线上。从上帝视角看，太阳直射点即将到达 晨昏线中早晨的一侧。

什么是晨昏线？地球的白昼即太阳照射地球的半边 和 地球的黑夜即太阳照射不到的地球影子的半边，二者的交界线。晨昏线与阳光垂直，或者说，晨昏线是与阳光的方向垂直的平面与地球表示的交界形成的圆。

如下图所示，夏至日前后，金色的阳光从右上角直射在北回归线上。侧视图中，晨昏线刚好把地图分割为左下半边黑夜，右上半边白昼。

换个视角，顶视图，从北极方向看，如下图所示。长春，当地球逆时钟转到“黎明到来”那一点时，即晨昏线与42度纬线交点时，看到太阳升起——太阳即将出现在地平线上。

3.3 黎明时的太阳

为什么正午时太阳在南方？因为太阳的直射点在北回归线，在“南北方向”的南面——并且在“东西方向”这条线的南方。如下图所示。

黎明的时候呢，太阳在哪里？如下图，太阳在金色的“北回归线23.5度”那一点。长春在哪里？在“黎明到来”那一点。

太阳，即金色的“北回归线23.5度”那一点，与长春的南北相对位置如何？

如果你认为沿经线方向向北极的方向是北，没错。如果你认为42度纬线分割了南北，那么，这是上帝视角。在长春本地人看来，“东西方向”的蓝色测地线的北面，就是北。

如下图，此时长春在图中 黎明到来，东西方向是长春（在大地上与经线圆垂直）的测地线。

可以看到，太阳正直射右侧金色点“北回归线23.5度”处，这一点，在东西方向测地线的北面。这就是长春当地人看到的，黎明时日出的方向。为什么我们一般认为太阳应该在南面呢，因为我们看地图的时候以为太阳“北回归线23.5度”在42度纬线的南面。但是，这是上帝视角，不是长春本地人的看法。

换个角度，如下图，从长春本地的正上方看，如下图所示，太阳正从东北方升起。

4. 东北是北方吗？

以上我们可以看出，在高纬度地区，不同于课本中粗略的写法，太阳的初生和落山，夏季是在东北和西北，而不是正东、正西。这是由于纬度较高，或者由于过于细节，不适合在课本中深入讨论导致淹没重点和主流。

有个类似的观点——东北是北方吗？东北当然在整个中国相对较北的部分。说起来有点奇怪，在相对较北的部分，难道不就是北方吗？这取决于如何定义北方。

“你们北方人不是喜欢吃面吗？”

如果不谈祖上，我可以算地道的东北人。不仅我，事实上，绝大多数东北人的地道东北，都不能讨论祖上。我，以及这些东北人，从出生到现在，都是以大米作为主食的，吃面（无论面条还是馒头）相对较少。为此，还被中原的同学嘲笑过，你们东北的面的做法也太贫乏了。因为我们不怎么吃面啊。

那么，为什么会有说法“北方人喜欢吃面”呢？因为，东北不是北方。在“北方人喜欢吃面”这句话里的北方，全称是 中国的北方，简称是 华北。因此，东北不在北方，东北人不是北方人。东北作为中国大米的主产区（大米是之一，粳米是唯一），怎么可能不吃大米，都进贡了吗？

北方人喜欢吃面，这说法往深了挖……是分裂……啊。或者 （在中国相对较北的部分之）东北不是北方，东北人不是北方人？

为什么长春的太阳在北面，使用geogebra解释 补充

5. 补充1-定量

以上，定性分析表明，长春日出时的方位角在 东西向测地线 以北，因此日出在东北方。

定量分析也对吗？我们以长春夏至日那天日出时的方位角为例。

5.1 测量

下图，是长春正上方俯视。阳光与晨昏线垂直，阳光穿过北回归线（在这个角度上的投影边缘，图中在阳光的路线上、地球边缘的黄圆点），并穿过地心。阳光与东西方向夹角为23度左右。未考虑投影。

立体视角如下图所示，阳光与东西方向夹角为23度左右。在图中可以看到，23度测量自 北回归线与（长春日初时）当地刚好正午的那个地点阳光的交点、长春、长春东西方向测地线三者的夹角，比投影到（或投影后展开？）长春的大地上的角度略小。这是长春夏至日时的日初时的方位角。

考虑一下投影呢？下图中，两个灰色箭头是刚刚测得23度的夹角；两个蓝色箭头是测地线（假设大地是平面）的延伸，夹角32.72度。

5.2 验证数据

在 https://gml.noaa.gov/grad/solcalc/azel.html
查 北纬42度，东京120度，使用东八区时间。之所以不使用长春的真实经纬度，是为了与上一节 测量 中的经纬度以及时刻保持一致。

方位角为 90-57.65=32.35度。

在 https://www.osgeo.cn/app/s1904 查同一时点地点。

302.20-270=32.2度。这个网站也说 方位角从正北顺时针算，但是结果并不是。存疑。

5.3 小结

验证数据32.35度或32.2度，我测量的数据32.72度，可以视为大致相等了。Geogebra绘图测量和根据天文或地理网站上推算的相符，长春日出时的方位角在 东西向测地线 西偏北32度左右。九十度的三分之一，肉眼容易观察到，难以忽视。

6. 补充2-为什么纬度越高，
日出时的方位角越北

为什么纬度越高，日出时的方位角越北呢？

我们回顾下面这张图。长春的方位角，是北回归线（与长春日出时，当地时间正午的那个地点）、长春、东方之间的夹角。

我们增加了一个虚拟的城市，北境。由上图可以看到，北境比长春更靠北。为什么图中画得更向西了呢？因为北境的日落时间更晚。如果保持图中的晨昏线（以及北境日出时，当地时间正午的那个地点）不变的话，即北境与长春使用同一晨昏线。就在长春日出时，北境也同时日出。

我们旋转一下地球，从北境的上空俯视。如下图所示，肉眼可见，北回归线、北境、东（注意这是北境的东，不是长春的东）的夹角，即北境日出时的方位角 大于 长春日出时的方位角。

这个角度有多大呢？用geogebra量一下（与长春一样的，仍然不是北境大地上的角度）。下图，35.02度。

35.02度大于23度。日出时的太阳，北境的比长春的更北。

从上帝视角再看一下。越向北，晨昏线越向西；越向北，东西方向的测地线越“陡峭”；越向北，日出时的方位角越北。

以上未考虑到投影。考虑到投影以后，如下图所示。长春的太阳方位角（太阳、长春、长春的东）32.74度，北境的太阳方位角（太阳、北境、北境的东）49.99度。再向北，再向北，太阳会持续由东、向南、向西，再向北，在你还没有感觉的时候转回东方，白夜。

1. 虚数i开平方根

二猫问，-1开平方根，得到的是虚数i；虚数数i开平方根，得到的是什么呢？

即 已知sqrt(-1) => i，

问 sqrt(i) => ?

2. 不能开方-什么是开方

简单粗暴的回答是，i不能开方。这种回答也不是没有先例，在除法里，我们规定 任何数都不能除以0。就这么规定的，似乎也没有什么原因。

真的没有原因。有，老师十有八九也讲过，可能咱们都没有注意到，或者后来考试也不是重点，咱们就忘了。就像网上公众号提到“吾生也有涯，而知也无涯”后面还有半句，不少人大呼被课本骗了。语文课本的书下注释明确写了后半句，“以有涯随无涯，殆已（我印象里是 汲汲乎怠哉。存疑”。这样的例子还有，共同点是你自己没注意怨谁。

a/0 非法，原因是 任何数乘以0都不能等于a。这是当时老师讲的。其背后的原理是 a/

0 并非一个数字，甚至这个数是否存在我们都不知道。a/0不是个数字，它是个运算。a/0表示这样的运算，如果这个运算可以求解，那么得到的数字 乘以0等于a。

类似的2/3的意思是 这是个运算，这个运算如果可以求解，那么所得的数字是 乘以3等于2的那个（那些？）数字。为了表示2/3这样的数字（！）我们由整数域扩展得到有理数域，这是另一个故事，按下不表。

我们确实有过规定，规定任何数不能除以0。那么是否有规定 i不能开方呢？不记得。

那么，我们类推一下。除以0的先例中的规定，要看除法的定义。虚数i是否能开方，我们要看看开方的定义。

什么是开方？

开方是一种运算，sqrt(a)的意思是 如果这个运算可以求解，那么所得的数字是 平方以后等于a的那个（那些？）数字。

运算sqrt(-1)，得到的结果是i。为什么呢，因为 i^2 即 i*i => -1。这是开方的定义决定的。

那么sqrt(i)的意思是什么呢？这有点麻烦，我们暂且搁置这个话题，用geogebra求一下。

3. 用geogebra试试

先测个空白，sqrt这个函数能不能用。

这什么玩意。

世界上第一个无理数，这个可以。

看来geogebra可能有特殊的语法，我不会。想个诡计吧。

-1的平方根是i，这是已知部分。

可以，可以。虚数i的平方根是0.71+0.71i，一个复数。而且geogebra贴心地给出了这个数在复平面中的位置。

图中，z1是虚数i，z2是sqrt(i)。

我说，看起来z2也能求平方根啊。二猫说，肯定能啊，既然它也是个复数。

我在geogebra里输入z2，怎么也不对。二猫说，“得用 z 下划线 2”吧。我心想，你平时偷摸学了不少啊。

结果是这样的。

4. 复平面-乘法的含义-手动求sqrt(i)

我若有所思，0.71……这数字咋这么熟悉呢。

过了一会儿，我在白板上画了下面这张图。

回到刚才我们暂时搁置的线索——开方到底什么意思。

开方是这样的运算，如果a=sqrt(x)，那么a是这样的数字a*a=x。一个数字x开方得到的数字a，a自己乘以a自己，能得到x。

那么sqrt(i)什么意思？一个数字，这个数字自己乘以自己，其结果是虚数i。

下一个问题，什么是乘法？在复平面上，我们已知（什么时候知道的？我也不知道，反正应该已经知道了）乘法是 绕原点逆时钟旋转（我们姑且忽略模的增长，假装没这回事）。

小结一下，
开方 是……符合……的乘法。
乘法 是 绕原点逆时钟逆转。

虚数i是什么？复平面上 坐标为 (0,1) 的那个点，即z1。

虚数i开方，就是 有个数字，它旋转两次相同的角度，就能从x轴正方向到达 (0,1)。这个数字是什么？

虚数i是（长度为1）角度90度的那个点。哪个点旋转两次相同的角度能达到90度？45度。

所以，虚数i开方，是长度为1，角度45度 的那个点。

长度为1，角度45度 的那个点的坐标是什么？在单位圆里，那个点的横坐标是 半径1*cos(45)，那个点的纵坐标是 半径1*sin(45)度。

三角函数 sin(45)=cos(45)=sqrt(2)/2，即

结论，sqrt(i) => 0.71+0.71i.

这一结果验证了geogebra的sqrt的结果。

5. 任意复数开任意（实数）次方-十二平均律

我们可以再求得更具有一般性一些。

虚数i的3次方根，结果是多少？那个斜体（？）的i是按alt+i打出来的。

-1 的2/3次方根，结果是什么？

数字长得像而且眼熟？因为那是60度和30度的正弦和余弦。是对180度和90度三等分得到的角度。

几次方根，就是把角度等分多少份。因为几次方，就是自乘/旋转几次。所以几次方根就是几等分角。

十二平均律，就是把一个八度内的音程等分成12分。跨八度是频率乘以2，所以等分就是开12次方根。

2/3方根就是三等分，再取两份。

十二平均律中一个八度里的第2个音，距离最左面3个8度^1/12，即3个倍频的12次方根，就是对倍频12等分，再取2份。

6. 数域

听说，复数是数域扩展的终点。所有的运算，其来源和结果一定不会超过复数的范围。

如上示例，任意复数可以开任意实数的方根。那么，任意复数，可以方根时，可以开任意复数的方根吗？

虚数i的虚数i次方，即i^i，如下图所示，这样行不行？

复平面上的几何意义是什么？需要扩展数域才能计算？

复数是数域扩展的终点吗？

批卷子，再把分数填写到教务系统上，还有各种报告和表格，需要5个小时以上（尚不包含主考/监考的时间 90分钟，也不包含命题的时间）。以一门3学分的课程为例，每2周3次授课，一次每周，一次隔周；每次90分钟。计54学时，合40.5小时。在这门课程中，除授课40.5小时以外，需要额外花费5小时批卷子、核分、上分、制表和写报告。也就是说，不完全统计，十分之一以上时间用于被管理而不是教学。十分之一，其时间消耗估计大于整个课程中的任何一章。

十分之一时间这么久，就值得总结时间在各项活动中花费的比例，以及有哪些技术可以用于提高效率。

1. 试卷排序

在正式开始批卷子工作以前，先要排序。教务部门要求试卷在教师上交时必须以特定顺序排列。比如按学号、按教务/选课系统中学生的次序、按考试的座次。不同时期有不同的排列要求，因此每门课程，我都重新阅读一次当前政策，按要求执行。

当前执行的策略，在考试中，监考人员和主考，会要求学生在试卷左上角写上签到的序号。这个序号就是教师上交试卷时的序号，因此学生写上大字有助于教师对试卷排序。但是这不能完全解决问题。原因之一是，经常有学生写错这个序号，错误率在十分之一左右。即50人左右的班级，有5人左右写错。因此，不仅遇到写错的序号需要排序，而是要对所有序号核对一遍。此外，学生并没有责任在试卷上写序号，没有任何条文有此要求。确实有同学不写，可能忘了，也可能重视自己的权益。

排序，考虑到试卷这种实体，每次交换或插入、比较的花费的代价与计算机算法不同，所以我一般在总体上使用归并排序，分组以后使用插入排序。感觉效率和费劲程度都较好。

排序之后，与缺考记录单对比，确认相符。

2. 批卷子

吕老师在一次会议中讲过，要先用铅笔试批几份。假设这几份具有典型性的话，根据这几份试卷考虑一下本学期判卷的严宽程度。

判卷第一要条，甚至比正确更重要，是公平。所有试卷，必须根据相同的判卷准则。因此，如果判到后期万一发现哪道题判错了，纠正的工作量相当大，因为此前的必须全回溯一遍。这与程序设计中，bug存在的时间越长修改的工作量越大，是一致的。

这个方法我执行了十五六年，甚至一度所有试卷全用铅笔判一遍。虽然增加工作量，但是减少了担心判错带来的紧张。接下来再用红笔抄在卷面上，再擦去铅笔判的版本。但是，后来的教学检查中曾经判定我擦得不够干净，要求重擦。从此以后，我就只用红笔判，错了就剌掉，签名。也有偶尔错的，也有改完挺乱的，不过我不紧张了。

判卷的时候，答案放在旁边对照。如果同学们答得普遍地好，或者连续几位同学都答得不错，答案就背下来了。如果连续几位同学出错，答案就记不住了，记住的也会忘掉。头疼，没啥招。

3. 算分数

小题分数累加到大题，总数值较小，一般可以口算。

大题分数累加得到卷面总分，我没有能力口算。见过同事口算又快又准的，特别是父母是教师，从小帮助核分的同事。令我羡慕不已。我的口算（以及笔算）能力之差，有时候二猫妈和二猫也嘲笑我口算错得离谱，差距我咋考上大学的。因为考大学时计算不那么重要。如果考大学时计算的比重再增加一些，我怀疑我就考不上了。

所以大题分数累加，我必须借助工具。以前用计算器，卖菜的有声音的那种最好，听到可以帮助复核。

后来用 ipad 里的 siri,感觉这个最好，简直离不了手。长按呼出来，我就读“28+34+27+11等于多少”这样。Ipad会语音报出答案，我瞥一眼屏幕上显示的我读过的数字。“等于多少”也可以不说。下载试过国内的几种计算器，语音识别失误率不能忍受。没试过国外的计算器，我猜它们听不懂汉语的数字。

大题加得卷面总分，这个过程要执行两次。

接下来，把纸质试卷上的卷面成绩抄到excel表格卷面成绩中。这个过程可以借助家人，我经常需要求助二猫妈。试卷和excel表格都已经按相同次序（就是教师要上交时的）排序完毕。我按excel读人名，二猫妈读试卷上的分数，我复述，然后记在excel中。这是第一遍。第二遍，我读人名，然后读分数，二猫妈看试卷确认。

在家人繁忙的时候，教师也得能独立完成这项工作。我使用过 讯飞有声，或者手机的录音机。第一遍，我口述成绩录音，然后播放录音时，我录入得到成绩单。第二遍，成绩单导出成 excel转成word，再存成excel，微信传到手机，用ES文件管理器打开，存在donwload目录下；用讯飞有声导入，讯飞有声读成绩单，我看卷面复核。

这样，就得到了卷面成绩。

4. 作业成绩

假设 总成绩中包括 期末成绩、作业成绩、小组成绩。分别得到期末成绩、作业成绩、小组成绩，在教务的登分系统中（按教师指定的规则）计算。

作业成绩，我们从每位同学都已经有了对应的分数开始。接下来的难点在于，作业的名单和卷面成绩的名单，这两种名单的顺序可能不同，看起来像下面的表格这样。

把姓名、作业、卷面对应起来的解决方案，一种是排序。把其中之一按另一个排序。问题在于，按另一个中“另一个”的排序规律是未知的，或者不能确定。也可能是按学号排序的，也可能根本就没有规则。是的，有时根本没有规则，但是你按没有规则这个规则排序。我校登分系统，经我测试，下载模板中的姓名可以排序，不影响上传时的成绩与姓名的对应。谢天谢地。

把姓名、作业、卷面对应起来的另一个解决方案是 nslookup 函数。

先复制得到 姓名、作业。

然后增加卷面这一列，值为如下图中 卷面 这一列绿色框中的公式。

在公式中，
蓝色“Q3”对应左方蓝色方框中的“阿大”，表示要寻找的卷面成绩属于 阿大；
红色“M$3:N$12”对应左侧红色方框，表示在哪些单元格中查找（注意其中的"$"表示绝对坐标，避免在复制公式时因为位置不同而导致寻找的范围变化）；
黑色“2”表示卷面成绩在单元格M$3:N$12的第2列；

FLASE表示精确查找。

综合起来，以上公式表示，在单元格M$3:N$12中的第1列查找阿大所在的行，把查找到的这一行的第2列的值填在当前位置。

接下来，把这个公式复制到下面的每一行。得到所有人的卷面成绩。

最后，如果成绩冻结了，那么复制并按数值粘贴到另一个位置备用。

5. 小组成绩

小组成绩，假设小组中每位同学的成绩均相同。用vlookup函数。

（感谢）学习委员或班长提供分组名单，形式一般如下。

在计算小组成绩时，由于不符合vlookup函数的条件，因此不能直接使用上述表格。由于同学们和班长和学习委员并无责任按教师要求填写名单（这会带来学习以外的工作量，即（教师）管理导致的时间成本），因此由教师处理。以上表格备用。

教师根据小组的工作情况得到小组成绩单，形势一般如下。

按下来，我们把小组成绩由对应到小组，推进到对应到每位同学。

首先，我得要得到 姓名-所属小组 这样的形式。

复制 | 选择性粘贴 | 转置，如下图所示。

得到下表。

删除第1列，得到下表。

按……这样的规则合成而为一列，如下表所示。

对每个小组 复制 | 填充单元格，执行了三次，得到下表。

去掉每组的表头，加上总的表头。

以上得到 姓名-所属小组 表格。

准备公式查询 此前备用的学委或班长提供的表格，即下面这张表。

Vlookup公式如下。含义在上面提过一次，此处不赘述。

这样，就得到了小组成绩。按作业成绩的处理方法，或者排序，或者vlookup，得到 姓名-卷面-作业-小组 成绩表格。

6. 成绩提交

我校的教务系统可以下载成绩录入模板，不必须在浏览器中录入。虽然登录必须使用360浏览器，别的统统不行，但是不必在浏览器中受折磨已经谢天谢地了。为了每学期录入成绩，又不愿望忍受360（毕竟我家的机器是我的，我有完全的所有权，可以决定什么软件不得安装；单位的机器虽然不是我的，但是如果安装了什么软件导致安全事故也是我的责任），所以我把360浏览器装在了 sanboxie中。为此，我贡献了1GB硬盘空间（以及CPU）给360浏览器，每学期用一次。

下载的模板里包括 学号、姓名，以及定好的成绩由哪几部分按什么比例加权，比如在期末卷面占70%，平时成绩30%，这样。学号-姓名-成绩 可以排序，真好！

我下载模板，排序。把我此前得到的 学号-姓名-卷面-作业-小组 成绩都粘到模板里。上传。

7. 成绩分析

可以下载 成绩单、成绩分析报告（的模板）了。其中成绩分析报告模板有bug，需要手动修改图表的数据范围。这个工作每学期都要做一遍。我有足够清醒的觉悟和意识，清楚模板只是为了方便我的工作而提供的，出错都是我的责任。类似的，试卷模板的头和脚，我也每年修改一次。为什么不用上一年改好的模板？万一今年模板变了，我没有看到区别怎么办。所以，所有的工作要从上级下发的模板开始，而不是从我的老经验开始，那不够可靠。

在成绩分析报告中，要回答一系列的问题。其中包括著名的“为什么学生成绩不服从正态分布”。各位教师同事，不要瞎编造谣。上级从来没有要求教师保证学生成绩必须服从正态分布，所以别向我科普小样本下正态分布如何如何。上级没要求过这个，上级要求的是如果不服从正态分布，解释一下。我每年解释一下。有时候看着差不多正态了，就不解释。

还有优秀百分比什么的，这一类，上级从来没有*要求*，而是认为应该达到什么样才合理吧。教师同事，你脑补一下，领导和颜悦色的请教你这位有经验教师的表情，“应该达到什么样才合理吧”。你对自己的经验和教学理论和你以前学过的知识，对自己算出来的分数分布到底有多少信心？考验你的时候到了。

8. 达成度报告

注意，我以上提到要花5个小时的工作里，还没有包括这项工作。

为了写达度度报告，得做一系列工作，其中这里我要讨论的是 问卷。问卷的对象是学生，要求学生回答对每部分章节或知识点或者什么什么指标，要求学生回答、对这些内容学生认为自己达到了何种程度。因为要求学生自己回答，所以得用问卷。因为考试结束以后（以及课程开始之前，所以我不赞同教师在开课前要求学生预习或做题，因为教师无此权利）教师不宜打扰学生，所以要在授课期间，课程即将结束时发布问卷。发布问卷时，上级没要求（上级甚至没要求发布问卷），我觉得教师应该意识到，咱们没权利要求学生必须填这个问卷，没有任何条例作为依据要求学生填写。是的，教师必须提交，但是学生无此义务。所以，每一轮，有多少同学配合，我都表达了感谢。对于不愿意配合的同学，我也觉得人家做得没错。帮我是人情，不帮我是本份。那是我的活儿，不是学生的。

假设，我收集到了足够（多少？）学生对问卷的填表。那就是此前谈过的
https://zhuanlan.zhihu.com/p/645284339 多列数据的分类统计。
统计之繁复，值得单独写了一篇博客，还挺长。

9. 总结

时间如此宝贵，以至于时间事实上就是生命本身。时间不仅是工程上，也是管理上，也是人生中，最重要的因素。

工作中，时间占比高达十分之一的，需要高度重视，记录花费的时间，记录每一种子任务花费多少时间。也需要高度重视，考虑如何提高效率节省时间。

把时间花在刀刃上。

没有批卷子经验的同学们，可能会以为“是不是就你笨，用好办法的话会快很多，花不了多少时间啊”。我所见的事实是，很多不熟悉（比我更不熟悉）计算机工具使用的教师，兢兢业业花了比我更多的时间，令人心疼。如果你刚好知道有什么办法能提速增效的，一定要告诉我啊！

//封面

// 我根据下面这本书，在瓦楞纸上刻的。

// Woodimals Creative Animal Puzzles for the Scroll Saw (Jim Sweet)

 

这个问题在三两年前就2022年4月，2022年11月分别困扰过我。当时解决了，然后忘到脑后。后来又遇到同一次问题，虽然后来也解决了，然而解决之前又一次走上同一条弯路，这感觉令人不悦。

最近2023年7月，又一次遇到同一类型的问题。探索的顺序和以前又完全相同。我不禁想起我的本科导师李树杰老师教导过我的，“杨儿啊，你得做笔记啊。”我当时说什么来着，“那些失败的过程有啥好记的。”

得正经记录一下了，不然还会第四次错。贴出来是最好的记录，因此有了这个帖子。

先从问题的背景和故障现象说起。

1. 问题

如下表所示，是学生对教师授课效果的评价。例如，阿大同学认为，教师第一章讲得优，第二章讲得良，第三章讲得中。依此类推。

要求是，统计 每一章 分别 有多少优、多少良、多少中、多少差。即，想得到下面的表格。

按上表所示，我们可以看出，纵向看例如第一章；有7人优，2人良，1人中，共10人；横向看例如优的人数，第一章7，第二章4，第三章2，共13人。

另一个类似问题的场景，订餐-派送。如下表所示，我们希望按宿舍得到一张表，按宿舍-楼层再得到一张表。每张表都按 早餐每种菜品多少份、午餐每种菜品多少份、晚餐每种菜品多少份 计数。

需求/字段尚不稳定，可能多次随时变更。每次变更后都要求 快！

2. 为什么用透视表不行

统计数据最快的不是R或者python，更不是matlab。而是excel。这里的快不是指执行速度，而是指开发。响应快速，培训周期短，用户接受迅速，部署环境简单（经常已经安装过）。

Excel里看起来最像解决方案的是功能强大的 透视表。

然而不行。

关于透视表的使用，值得另用一篇博客才能说清楚。在此暂且略过，假设你已经会了。我尝试了每个字段在行或者在行，尝试了各种计数值的方法，都得不到我想要的结果。各种尝试的结果都非常乱，在此不贴图了。

我想要的结果是，再贴一遍，如下。

中间是计数值；行，是优良中差；列是……每列分别统计。

如果每列分别统计，但是不要求放在一张表中，透视表是可以胜任的。如下。

我们可以看出，这三张表合在一起，就是我希望的结果。

严格地说，这三张表（每张表取1列，横向拼接在一起；
并且行标签都使用 优、良、中、差这4个条件；
并且计数值都使用 优、良、中、差这4种情况对应的计数）合在一起，就是我希望的结果。

“合在一起”符合这么复杂的定义才行。但是透视表的 多列 并不是这个意思。

透视表的 多列，是指 每一列作为一个条件，这些条件以 与操作 复合。例如

以上数据得表下表。

使用透视表的前提条件是 只有1列是数据（计数项，或者求得项等），基余的列都是条件。而我在这里遇到的两张表，学生评教师的 和 订餐-派送 的，其中的 每章 或者 每餐，都不是条件，而是多列数据。

如果从SQL的角度考虑，那么相当于 group by 语法。Group by后面如果有多个列/字段，列/字段之间用逗号分隔，其含义是 既符合又符合，例如 既是东北地区，又是吉林，可爱度10；东北地区所有省份可爱度之和 30。

另一个可供参照的技术是 平行数组。两个数组是独立的，一个数组是语文成绩，另一个数组是数学成绩。两个数组都使用学号作为下标，因此发生关联。两个数组都是计数或求和项，下标（对应excel中的左侧那些列）是条件。

3. 解决方案0 归约

有个近乎耍赖的方案。这个故事告诉我们：1.很多巧妙的方案都近乎耍赖，然而有效；2.巧妙不得长久和通用。

既然我们要求的是计数，那么如果正确赋值，我们可以只计数，而不分类、统计、汇总。因此也不需要透视表。

这个问题，我们把 优、良、中、差分别赋值为10、8、6、4。在这里，我们假装这就是教务部门要求的赋值权重，或者教师不会得到比4分还低的评价。事实上的要求共5档，然而4档还是5档并不影响我们的技术讨论，因此忽略这一区别。Ctrl-h，给出对应赋值，全部替换。

得到下表。

求平均值。

得到下面的表格。

可以看到，第一章教学效果最后，第二章稍差，第三章快放弃了。

虽然以上数据已经符合教务部门的期待了，但是在以上归约过程中，我们舍弃了优、良、中、差每个档次的数量，因此丢失了一些细节。

在 订餐-派送 问题中，按类别计数这一节细不能丢弃，如何赋值呢？

令几种类别 正交，使用多项式。用每“位”数字对一种类别计数。

特色1	1
特色2	10
特色3	100
基本	1000
全素	10000

得到下面的表格，计数。

早餐这一列3205的意思是 3份基本，2份特色3，0份特色2，5份特色1。按宿舍和楼层求和，可以得到 地点-类别 派送数量。

春华，2份基本，3份特色1。

如果计数超过10种，那么可以使用为每种类别预留多位数字。

4. 解决方案1 按列分别统计后合并

还可以把多列数据拆开，对每列数据单独统计。

4.1 透视表

对每一章分别用透视表统计。

手动排序，得到下表。

把行和列改为第二章。

得到第二章的统计结果。

用同样方法得到第三章的统计结果。把三章数据横向拼接，得到下面的表格。

4.2 Access - group by

把Excel粘贴或导入到Access。

新建查询，SQL视图如下。

执行得到结果，尚未根据优良中差排序。

然后对F2排序，横向合并，略。

之所以使用Access，是因为拆分单列和合并结果比Excel更方便。

4.3 Excel - countif函数

这种方法学自 OLIVER_QIN cnblogs 奔跑的金鱼。

https://www.cnblogs.com/OliverQin/p/9436814.html

在下图中绿色的单元格中使用函数 countif。第一个参数是用于统计的区域，这里对应第一章。第二个参数是判断的依据，左侧的优良中差是手动键入的。“良”是红色，因为当前统计的是良的数量，引用“良”。

注意需要用形如$B$2的绝对引用，这样在向其他单元格复制时引用的位置不会变动。类似的，第二章和第三章如下图。

5. 解决方案2 转变为一维数据-透视表

把列标题作为变量名，改为一维数据。具体操作步骤如下。

第一步，把表格复制三份，纵向排列。如下表所示。

第二步，删除除了第一个以外的标题行。

第三步，增加一列，章节。按下图填写 第一章、第二章、第三章。

第四步，删除并非本章的成绩。

第四步，把第一章、第二章、第三章3列合并为一列。

以上，完成了把列标题作为变量名，改为一维数据。这样就符合透视表的要求，只有一列，即最右一列 作为数据的计数项，其余的左边两列都是条件。

对上面“一维”表格使用透视表。

手动对行和列排序，得到下面的表格。

6. 解决方案3 透视表-多重计算合并计算数据区域

以下方案最为优雅来自，OLIVER_QIN cnblogs 奔跑的金鱼

https://www.cnblogs.com/OliverQin/p/9436814.html。

快捷键Alt + D P，调出 数据透视表和数据透视图向导，选择点选按钮 多重合并计算数据区域。

共3步，所以第2步拆成了2a和2b！此处有手动狗头表情。

选定区域，然后点击 添加 按钮。

注意，此时得到的透视表不是我们想要的，如下表。

当前的行、列、值是这样的。

修改为下图所示，关键点是行由“行”改为“值”，即由按行（姓名）改为按值（优、良、中、差）分类。

多列数据的分类统计

这个问题在三两年前就2022年4月，2022年11月分别困扰过我。当时解决了，然后忘到脑后。后来又遇到同一次问题，虽然后来也解决了，然而解决之前又一次走上同一条弯路，这感觉令人不悦。

最近2023年7月，又一次遇到同一类型的问题。探索的顺序和以前又完全相同。我不禁想起我的本科导师李树杰老师教导过我的，“杨儿啊，你得做笔记啊。”我当时说什么来着，“那些失败的过程有啥好记的。”

得正经记录一下了，不然还会第四次错。贴出来是最好的记录，因此有了这个帖子。

先从问题的背景和故障现象说起。

问题

如下表所示，是学生对教师授课效果的评价。例如，阿大同学认为，教师第一章讲得优，第二章讲得良，第三章讲得中。依此类推。

要求是，统计 每一章 分别 有多少优、多少良、多少中、多少差。即，想得到下面的表格。

按上表所示，我们可以看出，纵向看例如第一章；有7人优，2人良，1人中，共10人；横向看例如优的人数，第一章7，第二章4，第三章2，共13人。

另一个类似问题的场景，订餐-派送。如下表所示，我们希望按宿舍得到一张表，按宿舍-楼层再得到一张表。每张表都按 早餐每种菜品多少份、午餐每种菜品多少份、晚餐每种菜品多少份 计数。

需求/字段尚不稳定，可能多次随时变更。每次变更后都要求 快！

为什么用透视表不行

统计数据最快的不是R或者python，更不是matlab。而是excel。这里的快不是指执行速度，而是指开发。响应快速，培训周期短，用户接受迅速，部署环境简单（经常已经安装过）。

Excel里看起来最像解决方案的是功能强大的 透视表。

然而不行。

关于透视表的使用，值得另用一篇博客才能说清楚。在此暂且略过，假设你已经会了。我尝试了每个字段在行或者在行，尝试了各种计数值的方法，都得不到我想要的结果。各种尝试的结果都非常乱，在此不贴图了。

我想要的结果是，再贴一遍，如下。

中间是计数值；行，是优良中差；列是……每列分别统计。

如果每列分别统计，但是不要求放在一张表中，透视表是可以胜任的。如下。

我们可以看出，这三张表合在一起，就是我希望的结果。

严格地说，这三张表（每张表取1列，横向拼接在一起；
并且行标签都使用 优、良、中、差这4个条件；
并且计数值都使用 优、良、中、差这4种情况对应的计数）合在一起，就是我希望的结果。

“合在一起”符合这么复杂的定义才行。但是透视表的 多列 并不是这个意思。

透视表的 多列，是指 每一列作为一个条件，这些条件以 与操作 复合。例如

以上数据得表下表。

使用透视表的前提条件是 只有1列是数据（计数项，或者求得项等），基余的列都是条件。而我在这里遇到的两张表，学生评教师的 和 订餐-派送 的，其中的 每章 或者 每餐，都不是条件，而是多列数据。

如果从SQL的角度考虑，那么相当于 group by 语法。Group by后面如果有多个列/字段，列/字段之间用逗号分隔，其含义是 既符合又符合，例如 既是东北地区，又是吉林，可爱度10；东北地区所有省份可爱度之和 30。

另一个可供参照的技术是 平行数组。两个数组是独立的，一个数组是语文成绩，另一个数组是数学成绩。两个数组都使用学号作为下标，因此发生关联。两个数组都是计数或求和项，下标（对应excel中的左侧那些列）是条件。

解决方案0 归约

有个近乎耍赖的方案。这个故事告诉我们：1.很多巧妙的方案都近乎耍赖，然而有效；2.巧妙不得长久和通用。

既然我们要求的是计数，那么如果正确赋值，我们可以只计数，而不分类、统计、汇总。因此也不需要透视表。

这个问题，我们把 优、良、中、差分别赋值为10、8、6、4。在这里，我们假装这就是教务部门要求的赋值权重，或者教师不会得到比4分还低的评价。事实上的要求共5档，然而4档还是5档并不影响我们的技术讨论，因此忽略这一区别。Ctrl-h，给出对应赋值，全部替换。

得到下表。

求平均值。

得到下面的表格。

可以看到，第一章教学效果最后，第二章稍差，第三章快放弃了。

虽然以上数据已经符合教务部门的期待了，但是在以上归约过程中，我们舍弃了优、良、中、差每个档次的数量，因此丢失了一些细节。

在 订餐-派送 问题中，按类别计数这一节细不能丢弃，如何赋值呢？

令几种类别 正交，使用多项式。用每“位”数字对一种类别计数。

特色1	1
特色2	10
特色3	100
基本	1000
全素	10000

得到下面的表格，计数。

早餐这一列3205的意思是 3份基本，2份特色3，0份特色2，5份特色1。按宿舍和楼层求和，可以得到 地点-类别 派送数量。

春华，2份基本，3份特色1。

如果计数超过10种，那么可以使用为每种类别预留多位数字。

解决方案1按列分别统计后合并

还可以把多列数据拆开，对每列数据单独统计。

4.1 透视表

对每一章分别用透视表统计。

手动排序，得到下表。

把行和列改为第二章。

得到第二章的统计结果。

用同样方法得到第三章的统计结果。把三章数据横向拼接，得到下面的表格。

4.2 Access - group by

把Excel粘贴或导入到Access。

新建查询，SQL视图如下。

执行得到结果，尚未根据优良中差排序。

然后对F2排序，横向合并，略。

之所以使用Access，是因为拆分单列和合并结果比Excel更方便。

4.3 Excel - countif函数

这种方法学自 OLIVER_QIN cnblogs 奔跑的金鱼。

https://www.cnblogs.com/OliverQin/p/9436814.html

在下图中绿色的单元格中使用函数 countif。第一个参数是用于统计的区域，这里对应第一章。第二个参数是判断的依据，左侧的优良中差是手动键入的。“良”是红色，因为当前统计的是良的数量，引用“良”。

注意需要用形如$B$2的绝对引用，这样在向其他单元格复制时引用的位置不会变动。类似的，第二章和第三章如下图。

解决方案2 转变为一维数据-透视表

把列标题作为变量名，改为一维数据。具体操作步骤如下。

第一步，把表格复制三份，纵向排列。如下表所示。

第二步，删除除了第一个以外的标题行。

第三步，增加一列，章节。按下图填写 第一章、第二章、第三章。

第四步，删除并非本章的成绩。

第四步，把第一章、第二章、第三章3列合并为一列。

以上，完成了把列标题作为变量名，改为一维数据。这样就符合透视表的要求，只有一列，即最右一列 作为数据的计数项，其余的左边两列都是条件。

对上面“一维”表格使用透视表。

手动对行和列排序，得到下面的表格。

解决方案3 透视表-多重计算合并计算数据区域

以下方案最为优雅来自，OLIVER_QIN cnblogs 奔跑的金鱼

https://www.cnblogs.com/OliverQin/p/9436814.html。

快捷键Alt + D P，调出 数据透视表和数据透视图向导，选择点选按钮 多重合并计算数据区域。

共3步，所以第2步拆成了2a和2b！此处有手动狗头表情。

选定区域，然后点击 添加 按钮。

注意，此时得到的透视表不是我们想要的，如下表。

当前的行、列、值是这样的。

修改为下图所示，关键点是行由“行”改为“值”，即由按行（姓名）改为按值（优、良、中、差）分类。

对行和列手动排序，得到下面的表格。

总结

（1）核心原理 透视表认为只有一列数据是计数项，其余的列都是条件。

所以可以 拆分为单列统计再合并。

所以可以 把通过把标题改为变量名，把多列数据转为一维数据。

（2）特殊技术 数据透视表和数据透视图向导 可以 多重合并计算数据区域。

（3）你得做笔记啊。失败的实验也同样重要。发表是最好的记录。

对行和列手动排序，得到下面的表格。

7. 总结

（1）核心原理 透视表认为只有一列数据是计数项，其余的列都是条件。

所以可以 拆分为单列统计再合并。

所以可以 把通过把标题改为变量名，把多列数据转为一维数据。

（2）特殊技术 数据透视表和数据透视图向导 可以 多重合并计算数据区域。

（3）你得做笔记啊。失败的实验也同样重要。发表是最好的记录。

窗口在屏幕上以什么样的风格布局，我见过几种典型的方案。

一种是层叠的，或者浮动的。就是一般我们所见到的情况。如下图所示，三个窗口互相有覆盖的区域。激活的窗口在最前面，挡住后面的窗口。工作的时候视线在这些窗口间转来转去。

我见过最疯狂的层叠，是在大二的时候，看机房里旁边的师兄玩windows3.1自带的纸牌游戏。一大堆纸牌从远到近，从上到下，倾泻而下，后出现的覆盖先出现的。我以为是他写的程序，问这个是怎么实现的。他说这个可容易了。这么炫的效果又特别容易，我更加觉得自己无知。后来有另外的师兄告诉我，那是纸牌游戏打赢时候的过关效果动画。

我见过其次疯狂的层叠，是实验课的时候看到不少同学的编程界面。那么大个显示器，整个都被按钮、菜单、toolbar、广告、各种无关的窗口占据着，留了不到十行五十来个字符的空间，挤在里面写代码。大概就像下图这样。

这类同学往往倾向于用鼠标编程序，在写代码的过程中用鼠标比键盘还多。

层叠以外的风格，我本人走的是另一个极端。无论编程序还是写文字，绝大多数情况下，我都是把当前窗口设置为全屏。不仅最大化而已，而是要占据整个屏幕，连菜单和按钮都隐藏起来。绝大多数操作用快捷键，鼠标也几乎不动。

看起来就像这样，同一时刻只能看到一个窗口。Word快捷键 alt-v u 全屏，退出全屏按ESC。

在用word写作文字时，经常需要用鼠标翻页，使得我正关注的段落在屏幕的正中间。使用 Emacs 则这个操作可以由键盘 C-l 完成，令当前位置上下居中显示。

像这样。Emacs和Firefox全屏快捷键 F11。

如果不是正在写文字或者写代码，我的窗口口风格也并不总简洁到如此极端，而是采用平铺式 tiling的风格。

平铺式风格，又称为瓦片式。整个屏幕划分成若干区域，每个区域显示一个窗口。窗口之间互相没有覆盖，分别在某个区域里最大化。如下图所示，左侧、右上、右下，分别由三个不同窗口占据，窗口间彼此不覆盖。因此可以同时看到三个窗口，但是工作时如果要打字输出，那么需要切换激活的窗口。

平铺式还有个特性对我有帮助。我视力不好，需要非常靠近显示器。与你不同，你看屏幕左上角，只需要转动眼睛，我需要向前探头，再上，再向左。费时间而且易疲劳。所以，我希望窗口特别是我关注的段落能精准地显示在我希望的地方，这样能减少左右移动脖子。

平铺式的窗口管理器（以及各式窗口管理器）在Linux下非常繁荣。Dwm，awesome，xmonad，sawfish，xfce4，各具特色。Windows操作系统下，我长期用过一个，忘了名字。这一轮装机器时似乎找过，找不到了，也许停止开发了。微软开发的PowerToys中的FancyZones，看介绍也非常不错。但是PowerToys是个全家桶，包括很多我不关心的功能，尺寸也不小。所以我没有使用。

我用了 WindowGrid，感觉不错。在这里 http://windowgrid.net/。安装文件也就是运行文件，553KB。运行时占内存30MB多一点，CPU 0。

操作的过程很方便。鼠标点击窗口的标题栏，不要松开，这是拖动窗口的起始动作。差异是，此时按下空格键，当前窗口变成青色，鼠标拖动，只能在事先分配的几个区域中停靠。这几个区域，就是瓦片。如下图所示，青色细线划分了区域，3*2的青色范围是当前正要停靠的区域。

我的机器设置了12个纵列，1行。经常把窗口停在左起第3列到右数第3列之间，正对着我的眼睛。

12*1，这比windows内置的 左1/2，右1/2，左上、右上、左下、右下多了些选择。特别是windows内置的区域要么偏左，要么偏右，居然没有正中间u我最需要的这种配置。

鼠标左键在窗口标题栏按下时，按下 左control 可以只移动而不改变窗口大小。也只能移动到指定的几个区域中，在目标区域中最大化窗口。