1. 事实观察
小学二三年级地理课上老师讲到：太阳从东方升起、西方落下。我提出了问题，是*正*东吗？老师说，对，是正东。我问，为什么我看到早晨的太阳都是在东南方呢？老师说，那是因为你起得太晚，太阳已经移到东南方了。所以语文课本里有提到，“太阳升到一杆子高了”。我必须得在太阳刚离开地平线的时候观察，那时才是准的。
类似的疑问在我的读科普书时也有，埃及人如何定义“年”。说，当看到天狼星从地平线升起的时候，尼罗河就会开始泛滥，埃及人把这一天定为一年的开始。到下一次天狼星从地平线升起，这之间的时间间隔，称为一年。然而，我又困惑了。在冬季星空中，天狼星每天都会升起啊。每天升起的时候，都会路过地平线。那么，哪一天才是一年开始的那一天呢？从看到那本科普书以后，这个疑问伴随我阅读每一本这一类的科普书。大家都是这样说的，难道他们都没有疑问，只有我不懂？后来我才知道，也许吧，最初翻译的或者科普的那位作者遗漏了一点儿信息。并非“天狼星从地平线上升起”，而是“天狼星与太阳*一起*从地平线上升起”。由于太阳沿黄道在星座所构成的天穹中的逐日移动，所以，天狼星这一恒星与太阳从地平线上一同升起的时机，全年只有一天。
回到日出的方向。初中二年级，又学地理。当时我正有晨跑的习惯，所以有机会观察到太阳初升时在地平线上的位置。不是正东！
我观察到太阳每天从东北方升起。至少可以断定不是正东，而是东偏北。之所以能确定东北方向，是因为正午时的日影（的反方向）可以定义正南方。正南的180度是正北。正南和正北之间90度，是正东和正西。
太阳不仅从东北方升起，我后来还观察到太阳落下的方向是向西北方，而不是正西。东北人知道，因为向北的窗户被晒得够呛，东西都掉色了。
最近有长春的前辈老师发朋友圈提到，他在傍晚的时候发现在长春正东正西（这可以参见百度地图或者高德地图）的街道上，能看到日影向南指。也就是说，太阳偏北，在西北方。
在网上查一下作为佐证。
长春市2023年夏至日的日落时间，在http://richu.ttvz.com/cha/changchun-20230622.html查到为 19:24。
长春的经纬度，用bing查。
。
在https://gml.noaa.gov/grad/solcalc/azel.html根据经纬度和日落时间，查到6月24日日落时的方位角为 由正北顺时针旋转 284.26度，超过正西(284.26-90*3)= 14.26度。
下图，直观感受一下，西偏北14.2度，俯视图。
2．简单原理
再确认复述一遍观察，北回归线以北的地点，都有机会看到太阳在 北面。太阳初升和落山时，会在东北和西北方，而不是正东、正西，也不是东南或西南。
简单的原理是，越向北的地点，即纬度越高，现象越明显。在北极圈里，夏至日前后（春分和秋分之间）极昼期间，太阳向大约西方落山，越过正西也不消失在地平线下，直至正北再转回来——午夜已过，太阳开始初生，由东北方升起。
以上，是以（众所周知的）极端情况解释一般现象。以下，原理再复杂一点。
北回归线以北，春分和秋分两天，白昼与夜晚时间相等，各12小时。太阳从正东升起，向正西落下，刚好180度。春分以后，秋分以前，特别是夏至日这一天现象最明确，白昼时间长于黑夜。
同时，太阳在天幕中移动的角速度是恒定的。
所以，要想得到超过12小时的白昼，初升至落山，太阳划过的角度必须超过180度才行。白昼和黑夜的时间差越大，太阳在白昼超过180度的角度也要越大。越过180度，就是从正东的北面初升，向正西的北面落下。
还能得到一条与主线关系不大的结论——秋分以后，太阳将从东南方向升起，向西南方向落山，白昼时间短于12小时，太阳初末的方位角之间小于180度。
但是为什么呢，地理书上不是这么说的啊？地理书上还有图呢。
手绘精度这么高的图示，远超出我的能力，求助geogebra。
3. 原理图示
我们先用地球的图示分别定义 东西方向、黎明，然后解释原理。
3.1 东西方向的定义
地球的侧视图如下。下图的视角是，北极点和南极点分别在最上和最下，地球的地轴与纵方向完全重合。
请注意以下3个特别的标注。1.南北方向。在长春本地人看来，所谓南北，是沿当地的经线方向，向北极点的是北方，向南极点的是南方。2.东西方向。在这一点上，长春本地人与上帝视角看地图时通常的感觉不同。上帝视角看地图，我们一般隐约觉得沿42度（长春纬度43，然而42容易记得多）纬线，向左为西，向右为东。但是当地人认为，东西方向应该是直线，而42度纬线是弧形。
如下图所示，绿线是同纬度所指的“东西”。当地人认为的“东西”在通过长春的一条测地线——球上周长最大的弧——上面。过长春一点，地球上有无数条测地线，下图中的红线是测地线之一，是过长春和西班牙北部同纬度地点（和球心）的测地线。过长春的经线也是测地线之一。
那么哪一条测地线才是长春当地人认同的“东西”方向呢？是与“南北”方向垂直的那条测地线。
换个视角，从长春的正上方，也就是从长春本地俯视大地，如下图所示，标注了蓝色“东西方向”的大弧测地线为东西方向。你看，东西方向是直的，不是弯的，42度纬线是弯的，弯向了北方。
调整一下角度，从北极上空俯视，我们可以看到，长春的白昼时间，即晨昏线与42度纬线的交点（“黑夜到来”与P点）之间，白昼部分大于180度（过北极点、南极点的淡紫色面积上缘为180度直线）。
3.2 黎明的定义
我们要讨论的是接近黄昏或者日出的时候，太阳的方位角。不失一般性（哈哈），我们讨论黎明的时候。
什么是黎明？从当地视角看，太阳即将出现在地平线上。从上帝视角看，太阳直射点即将到达 晨昏线中早晨的一侧。
什么是晨昏线？地球的白昼即太阳照射地球的半边 和 地球的黑夜即太阳照射不到的地球影子的半边，二者的交界线。晨昏线与阳光垂直，或者说，晨昏线是与阳光的方向垂直的平面与地球表示的交界形成的圆。
如下图所示，夏至日前后，金色的阳光从右上角直射在北回归线上。侧视图中，晨昏线刚好把地图分割为左下半边黑夜，右上半边白昼。
换个视角，顶视图，从北极方向看，如下图所示。长春，当地球逆时钟转到“黎明到来”那一点时，即晨昏线与42度纬线交点时，看到太阳升起——太阳即将出现在地平线上。
3.3 黎明时的太阳
为什么正午时太阳在南方？因为太阳的直射点在北回归线，在“南北方向”的南面——并且在“东西方向”这条线的南方。如下图所示。
黎明的时候呢，太阳在哪里？如下图，太阳在金色的“北回归线23.5度”那一点。长春在哪里？在“黎明到来”那一点。
太阳，即金色的“北回归线23.5度”那一点，与长春的南北相对位置如何？
如果你认为沿经线方向向北极的方向是北，没错。如果你认为42度纬线分割了南北，那么，这是上帝视角。在长春本地人看来，“东西方向”的蓝色测地线的北面，就是北。
如下图，此时长春在图中 黎明到来，东西方向是长春（在大地上与经线圆垂直）的测地线。
可以看到，太阳正直射右侧金色点“北回归线23.5度”处，这一点，在东西方向测地线的北面。这就是长春当地人看到的，黎明时日出的方向。为什么我们一般认为太阳应该在南面呢，因为我们看地图的时候以为太阳“北回归线23.5度”在42度纬线的南面。但是，这是上帝视角，不是长春本地人的看法。
换个角度，如下图，从长春本地的正上方看，如下图所示，太阳正从东北方升起。
4. 东北是北方吗？
以上我们可以看出，在高纬度地区，不同于课本中粗略的写法，太阳的初生和落山，夏季是在东北和西北，而不是正东、正西。这是由于纬度较高，或者由于过于细节，不适合在课本中深入讨论导致淹没重点和主流。
有个类似的观点——东北是北方吗？东北当然在整个中国相对较北的部分。说起来有点奇怪，在相对较北的部分，难道不就是北方吗？这取决于如何定义北方。
“你们北方人不是喜欢吃面吗？”
如果不谈祖上，我可以算地道的东北人。不仅我，事实上，绝大多数东北人的地道东北，都不能讨论祖上。我，以及这些东北人，从出生到现在，都是以大米作为主食的，吃面（无论面条还是馒头）相对较少。为此，还被中原的同学嘲笑过，你们东北的面的做法也太贫乏了。因为我们不怎么吃面啊。
那么，为什么会有说法“北方人喜欢吃面”呢？因为，东北不是北方。在“北方人喜欢吃面”这句话里的北方，全称是 中国的北方，简称是 华北。因此，东北不在北方，东北人不是北方人。东北作为中国大米的主产区（大米是之一，粳米是唯一），怎么可能不吃大米，都进贡了吗？
北方人喜欢吃面，这说法往深了挖……是分裂……啊。或者 （在中国相对较北的部分之）东北不是北方，东北人不是北方人？
为什么长春的太阳在北面，使用geogebra解释 补充
5. 补充1-定量
以上，定性分析表明，长春日出时的方位角在 东西向测地线 以北，因此日出在东北方。
定量分析也对吗？我们以长春夏至日那天日出时的方位角为例。
5.1 测量
下图，是长春正上方俯视。阳光与晨昏线垂直，阳光穿过北回归线（在这个角度上的投影边缘，图中在阳光的路线上、地球边缘的黄圆点），并穿过地心。阳光与东西方向夹角为23度左右。未考虑投影。
立体视角如下图所示，阳光与东西方向夹角为23度左右。在图中可以看到，23度测量自 北回归线与（长春日初时）当地刚好正午的那个地点阳光的交点、长春、长春东西方向测地线三者的夹角，比投影到（或投影后展开？）长春的大地上的角度略小。这是长春夏至日时的日初时的方位角。
考虑一下投影呢？下图中，两个灰色箭头是刚刚测得23度的夹角；两个蓝色箭头是测地线（假设大地是平面）的延伸，夹角32.72度。
5.2 验证数据
在 https://gml.noaa.gov/grad/solcalc/azel.html
查 北纬42度，东京120度，使用东八区时间。之所以不使用长春的真实经纬度，是为了与上一节 测量 中的经纬度以及时刻保持一致。
方位角为 90-57.65=32.35度。
在 https://www.osgeo.cn/app/s1904 查同一时点地点。
302.20-270=32.2度。这个网站也说 方位角从正北顺时针算，但是结果并不是。存疑。
5.3 小结
验证数据32.35度或32.2度，我测量的数据32.72度，可以视为大致相等了。Geogebra绘图测量和根据天文或地理网站上推算的相符，长春日出时的方位角在 东西向测地线 西偏北32度左右。九十度的三分之一，肉眼容易观察到，难以忽视。
6. 补充2-为什么纬度越高，
日出时的方位角越北
为什么纬度越高，日出时的方位角越北呢？
我们回顾下面这张图。长春的方位角，是北回归线（与长春日出时，当地时间正午的那个地点）、长春、东方之间的夹角。
我们增加了一个虚拟的城市，北境。由上图可以看到，北境比长春更靠北。为什么图中画得更向西了呢？因为北境的日落时间更晚。如果保持图中的晨昏线（以及北境日出时，当地时间正午的那个地点）不变的话，即北境与长春使用同一晨昏线。就在长春日出时，北境也同时日出。
我们旋转一下地球，从北境的上空俯视。如下图所示，肉眼可见，北回归线、北境、东（注意这是北境的东，不是长春的东）的夹角，即北境日出时的方位角 大于 长春日出时的方位角。
这个角度有多大呢？用geogebra量一下（与长春一样的，仍然不是北境大地上的角度）。下图，35.02度。 
35.02度大于23度。日出时的太阳，北境的比长春的更北。
从上帝视角再看一下。越向北，晨昏线越向西；越向北，东西方向的测地线越“陡峭”；越向北，日出时的方位角越北。
以上未考虑到投影。考虑到投影以后，如下图所示。长春的太阳方位角（太阳、长春、长春的东）32.74度，北境的太阳方位角（太阳、北境、北境的东）49.99度。再向北，再向北，太阳会持续由东、向南、向西，再向北，在你还没有感觉的时候转回东方，白夜。
，我们可以把这个长度定义为1。
是个向量，它不够完整。我们补充一点东西。
对角线上全是1的对角阵，这个单位阵，是旧坐标系的基底。因为过于熟悉，我们几乎注意不到它的存在。我们看一下它的含义。
完整的写法是 
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，结果为单位阵。
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结果为 
，
结果为 
。
求得新坐标系下的坐标为 (0.91,0.73)。
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